Векторами називаються математичні об'єкти (a. B. C. ...), для яких визначено виконання двох алгебраїчних операцій:
· Складання двох векторів a + b = c
· Множення вектора на число a • а = b.
Найбільш суттєвою особливістю цих операцій є те, що в результаті їх виконання завжди виходить вектор того ж типу, що й вихідні вектори. Тому, маючи деякий початковий набір векторів, ми можемо поступово розширювати його, тобто отримувати все нові і нові вектори, застосовуючи до вже наявних векторах операції додавання і множення на число. Врешті-решт ми прийдемо до такого безлічі векторів, яке вже більше не буде розширюватися, тобто виявиться замкнутим щодо зазначених операцій. Таке безліч векторів називається векторним простором.
Якщо при виконанні зазначених операцій виконуються додаткові умови лінійності:
то що виходить простір називається лінейнимпространством (ЛП) або лінійним векторнимпространством (ЛГП). ЛГП може, поряд з групами симетрії, служити ще одним прикладом математичних структур, що представляють собою замкнуті безлічі однотипних і упорядкованих певним чином (за допомогою алгебраїчних операцій) об'єктів.
Маючи в своєму розпорядженні операціями додавання векторів і множення їх на числа, можна побудувати і складнішу конструкцію типу:
яка називається лінійною комбінацією (ЛК) векторів a, b, c. c коефіцієнтами a, b, g ,. . відповідно.
Поняття ЛК дозволяє сформулювати кілька загальних правил:
· Будь-яка ЛК будь-яких векторів деякого ЛП також є вектором того ж самого ЛП;
· Будь-який вектор деякого ЛП може бути представлений у вигляді ЛК декількох векторів того ж самого ЛП;
· В будь-якому ЛП існує такий виділений набір векторів, званий базисним набором (або просто базисом), що все, без винятку, вектори цього ЛП можуть бути представлені як лінійні комбінації цих виділених базисних векторів. На вектори, обрані в якості базисних, накладається одна важлива умова: вони повинні бути лінійно незалежні між собою (не повинні виражатися один через одного, тобто x ≠ a × y).
Ці правила дають можливість ввести спеціальний спосіб опису будь-якого ЛП. Виберемо базовий набір і розкладемо все цікавлять нас вектори з цього базису (тобто представимо їх у вигляді ЛК базисних векторів); тоді кожен вектор можна однозначно задати за допомогою набору коефіцієнтів ЛК, яка відповідає цьому вектору. Такі коефіцієнти називаються координатами вектора (по відношенню до заданого базису). Підкреслимо, що координати вектора - це звичайні числа, і координатне уявлення вектора дозволяє описати його за допомогою тільки сукупності чисел, незалежно від конкретного фізичного змісту, що вкладається нами в поняття вектора.
Розглянемо конкретний приклад. Нехай у нас є набір різних сумішей двох чистих хімічних речовин: води і спирту. Серед усіх можливих сумішей виділимо дві особливих:
1) суміш S1. що містить 100% води і 0% спирту;
2) суміш S2. містить 0% води і 100% спирту.
Ясно, що довільну суміш можна представити у вигляді ЛК цих двох базисних сумішей:
і повністю охарактеризувати її всього двома числами-координатами: n1 і n2. Іншими словами, при заданому базисному наборі, ми можемо встановити еквівалентність довільної хімічної суміші і набору чисел:
Тепер досить замінити конкретне хімічне слово "суміш" на абстрактний математичний термін "вектор", щоб отримати модель ЛВП, що описує безліч сумішей двох речовин.