Визначення. Послідовність називається поворотної, якщо для деякого k і всіх n виконується співвідношення виду
де постійні коефіцієнти pi; i = 1; 2; ...; k не залежить від n.
називається характеристичним многочленом для поворотної послідовності.
називають однорідним лінійним рекурентним співвідношенням.
З формули (15) знайдемо спільну член, для цього достатньо знайти виробляє функцію послідовності - функцію. Введемо допоміжний многочлен і розглянемо твір, при цьому ступінь С (t) не перевищує k-1, оскільки коефіцієнти при t n + k, k = 0, 1, ... дорівнюватимуть нулю в силу рівняння (15). Нехай характеристичне рівняння (14) має прості (може бути кратні) коріння, тобто допускає розкладання виду. тоді,
Характеристичну функцію можна представити у вигляді
Відомо, що, то, і, отже,. (17)
Формула (17) дає розкладання виробляє функції послідовності. Для знаходження формули загального члена необхідно знайти коефіцієнти при t n в розкладанні (17).
Приклад 1. Знайти спільну член послідовності, що задовольняє рекурентного співвідношення.
Рішення. Перепишемо вихідне рекурентне співвідношення у вигляді (15)
Характеристичний многочлен L (t) має вигляд, тоді
Методом невизначених коефіцієнтів отримаємо
Способи знаходження спільного рішення зворотних співвідношень:
1. Якщо поворотна послідовність (13) повністю определяетсязаданіем еепервих k членів, то
.
2. Якщо t є коренем характеристичного многочлена (14), то послідовність задовольняє співвідношенню (13), тоді.
3. Якщо t1; t2; ...; tk прості (некратні) коріння характеристичного многочлена (14), тоді загальне рішення рекурентного співвідношення (13) має вигляд
4. Якщо є корінь многочлена (14) кратності, то загальне рішення рекурентного співвідношення (13) має вигляд
де сi, j = 1, 2, ...; r; j = 1, ...; - довільні константи, r - кількість кратних коренів.
Приклад 2. Знайти спільне рішення для прикладу 1.
Рішення. Характеристичний многочлен має коріння t1 = 1; t2 = 3, тоді за формулою (18) отримаємо.
Приклад 3. Вирішити неоднорідне рекурентне співвідношення.