Приклад 1. y '' - y '- 6 = 2x
Рішення рівняння будемо шукати у вигляді y = e rx через сервіс лінійні диференціальні рівняння. Для цього складаємо характеристичне рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами:
r 2 - r - 6 = 0
D = (-1) 2 - 4 • 1 • (-6) = 25
Коріння характеристичного рівняння:
r1 = 3
r2 = -2
Отже, фундаментальну систему рішень складають функції:
y1 = e 3x
y2 = e -2x
Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд:
Розглянемо праву частину:
f (x) = 2x
Пошук приватного рішення.
Лінійне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною виду:
R (x) = e # 945; x (P (x) cos (# 946; x) + Q (x) sin (# 946; x)), де P (x), Q (x) - деякі поліноми
має приватне рішення
y (x) = x k e # 945; x (R (x) cos (# 946; x) + S (x) sin (# 946; x))
де k - кратність кореня # 945; + # 946; i характеристичного полінома відповідного однорідного рівняння, R (x), S (x) - поліноми, що підлягають визначенню, ступінь яких дорівнює максимальному ступені поліномів P (x), Q (x).
Тут P (x) = 2x, Q (x) = 0, # 945; = 0, # 946; = 0.
Отже, число # 945; + # 946; i = 0 + 0i не є коренем характеристичного рівняння.
Рівняння має приватне рішення виду:
y * = Ax + B
Обчислюємо похідні:
y '= A
y '' = 0
які підставляємо у вихідне диференціальне рівняння:
y '' -y '-6y = -A -6 (Ax + B) = 2x
або
-6Ax-A-6B = 2x
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, одержуємо систему рівнянь:
-6A = 2
-1A -6B = 0
З першого рядка висловлюємо А = 2 / (- 6) = -1 / 3. яке підставляємо у другому рядку: 1/3 = 6B
A = -1 / 3; B = 1/18;
Приватне рішення має вигляд:
y * = -1 / 3 x + 1/18
Таким чином, загальне рішення диференціального рівняння має вигляд:
Рішення було отримано і оформлено за допомогою сервісу:
Диференційне рівняння
Приклад 2. y '' -2y '+ y = x-1
Дане диференціальне рівняння відноситься до лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.
Рішення рівняння будемо шукати у вигляді y = e rx. Для цього складаємо характеристичне рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами:
r 2 -2 r + 1 = 0
D = (-2) 2 - 4 • 1 • 1 = 0
Коріння характеристичного рівняння:
Корінь характеристичного рівняння r1 = 1 кратності 2.
Отже, фундаментальну систему рішень складають функції:
y1 = e x
y2 = xe x
Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд:
Розглянемо праву частину:
f (x) = x-1
Пошук приватного рішення.
Лінійне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною виду:
R (x) = e # 945; x (P (x) cos (# 946; x) + Q (x) sin (# 946; x)), де P (x), Q (x) - деякі поліноми
має приватне рішення
y (x) = x k e # 945; x (R (x) cos (# 946; x) + S (x) sin (# 946; x))
де k - кратність кореня # 945; + # 946; i характеристичного полінома відповідного однорідного рівняння, R (x), S (x) - поліноми, що підлягають визначенню, ступінь яких дорівнює максимальному ступені поліномів P (x), Q (x).
Тут P (x) = x-1, Q (x) = 0, # 945; = 0, # 946; = 0.
Отже, число # 945; + # 946; i = 0 + 0i не є коренем характеристичного рівняння.
Рівняння має приватне рішення виду:
y * = Ax + B
Обчислюємо похідні:
y '= A
y '' = 0
які підставляємо у вихідне диференціальне рівняння:
y '' -2y '+ y = -2A + (Ax + B) = x-1
або
A • x-2A + B = x-1
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, одержуємо систему рівнянь:
A = 1
-2A + B = -1
Звідки: A = 1; B = 1;
Приватне рішення має вигляд:
y * = x + 1
Таким чином, загальне рішення диференціального рівняння має вигляд:
Приклад 3. y '' + 6y '+ 9y = 9x 2 + 12x-43
Дане диференціальне рівняння відноситься до лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.
Рішення рівняння будемо шукати у вигляді y = e rx. Для цього складаємо характеристичне рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами:
r 2 +6 r + 9 = 0
D = 6 2 - 4 • 1 • 9 = 0
Коріння характеристичного рівняння:
Корінь характеристичного рівняння r1 = -3 кратності 2.
Отже, фундаментальну систему рішень складають функції:
y1 = e -3x
y2 = xe -3x
Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд:
Розглянемо праву частину:
f (x) = 9 • x 2 + 12 • x-43
Пошук приватного рішення.
Лінійне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною виду:
R (x) = e # 945; x (P (x) cos (# 946; x) + Q (x) sin (# 946; x)), де P (x), Q (x) - деякі поліноми
має приватне рішення
y (x) = x k e # 945; x (R (x) cos (# 946; x) + S (x) sin (# 946; x))
де k - кратність кореня # 945; + # 946; i характеристичного полінома відповідного однорідного рівняння, R (x), S (x) - поліноми, що підлягають визначенню, ступінь яких дорівнює максимальному ступені поліномів P (x), Q (x).
Тут P (x) = 9 • x 2 + 12 • x-43, Q (x) = 0, # 945; = 0, # 946; = 0.
Отже, число # 945; + # 946; i = 0 + 0i не є коренем характеристичного рівняння.
Рівняння має приватне рішення виду:
y * = Ax 2 + Bx + C
Обчислюємо похідні:
y '= 2 • A • x + B
y '' = 2 • A
які підставляємо у вихідне диференціальне рівняння:
y '' + 6y '+ 9y = 2 • A + 6 (2 • A • x + B) + 9 (Ax 2 + Bx + C) = 9 • x 2 + 12 • x-43
або
9 • A • x 2 + 12 • A • x + 2 • A + 9 • B • x + 6 • B + 9 • C = 9 • x 2 + 12 • x-43
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, одержуємо систему рівнянь:
9A = 9
12A + 9B = 12
2A + 6B + 9C = -43
Вирішуючи її методом Гаусса. знаходимо:
A = 1; B = 0; C = -5;
Приватне рішення має вигляд:
y * = x 2 -5
Таким чином, загальне рішення диференціального рівняння має вигляд:
y = C1 e -3 x + C2 xe -3 x + x 2 -5
Правила введення даних
Поставити свої запитання або залишити побажання або зауваження можна внизу сторінки в розділі Disqus.
Можна також залишити заявку на допомогу у вирішенні своїх завдань у наших перевірених партнерів (тут або тут).