ЛІНІЙНІ І евклідовому просторі
Визначення. Безліч V елементів х, у, z. називається лінійним простором (iдействітельним або комплексним), якщо по деякому правилу I. будь-яким двом елементам х і у з V поставлений у відповідність елемент з V, позначається х + у якого ще називають сумою елементів х і у; II. будь-якого елементу х з V і кожному числу а (речового або комплексного) поставлений у відповідність елемент з V, позначається ах і званий твором елемента х на чісю а, і ці правила додавання і множення на число задовольняють наступним аксіомам: (iассоціатівность); (Коммутативное ть) \ 3. в безлічі V існує елемент 9 такий, що для будь-якого елемента х з V виконується рівність х + 9 = х; 4. для будь-якого елемента х з V в безлічі V існує елемент (-х) такий, що х + (х) = 9; Елемент 9 називається нульовим елементом, а елемент (-х) - протилежним елементу х. Елементи х, у, z. лінійного простору часто називають векторами. Тому лінійне простір називають також векторних простором. Приклади лінійних просторів. 1. Сукупність вільних геометричних векторів в просторі з введеними в §2 глави I операціями додавання векторів і множення вектора на число (рис.1). Цим же властивістю володіють: сукупність V \ векторів на прямій і сукупність Vj векторів на площині. Сукупність упорядкованих наборів Про з п дійсних чисел. Операції - додавання і множення на дійсне число - вводяться так: а) складання - б) множення на число - ЛІНІЙНІ І евклідовому просторі Визначення лінійного простору. Найпростіші властивості Найпростіші властивості лінійних просторів Лінійні підпростори Властивості лінійного підпростору Сума і перетин лінійних підпросторів Властивості перетину і суми лінійних підпросторів Основні властивості лінійної оболонкою Позначення: R4 (п -мірним речовий координатне простір). 3. Сукупність різноманітних матриць Ктхя розміру т х п з введеними в § 1 глави IV правилами складання матриць, Зокрема, сукупність n-рядків, і сукупність стовпців висоти т, КЩЯ |, є лінійні ними просторами. 4. Безліч С (-1,1) дійсних функцій, безперервних на інтервалі (-1, 1), з природними операціями додавання функцій і множення функції на число. В усіх наведених прикладах вимоги 1-8 перевіряються безпосередньо. Найпростіші властивості лінійних просторів 1. Нульовий елемент 9 визначено однозначно. Нехай 01 і 02 - нульові елементи простору V. Розглянемо їх суму 9 | + Е2. Внаслідок того, що 02 - нульовий елемент, з аксіоми 3 отримуємо, що 0i + 02 = 0 |, а так як елемент 0i - також нульовий, то Нехай х
і х_ - елементи, протилежні елементу х. Покажемо, що вони рівні. Розглянемо суму х_ + х + х
Користуючись аксіомою 1 і тим, що елемент х