Визначення. Безліч називається лінійним (векторних) простором. якщо:
I. Дано правило, яке вказує, як для будь-яких двох елементів
. з знайти в певний елемент, називаний їхньою сумою
і позначається символом +.
II. Дано правило, яке вказує, як для будь-якого дійсного
(Або комплексного) числа і будь-якого елемента з знайти в
новий елемент, званий твором на який позначають
символом або.
III. Визначено поняття рівності елементів в. позначає-моє знаком «=».
IV. I і II операції називаються відповідно складанням і множенням на число і задовольняють наступним восьми умов:
4) множення дистрибутивно по відношенню до складання елементів з
Множення дистрибутивно по відношенню до складання чисел
6) існує такий елемент. званий нульовим. що
7) для будь-якого елемента
8) для будь-якого елемента існує такий елемент -. званий протилежним елементу. що
Якщо твір визначено тільки для дійсних чисел, то лінійний простір називається речовим. якщо ж твір визначено для будь-якого комплексного числа. то лінійний простір називається комплексним. Елементи лінійного простору називаються векторами (або точками) і позначаються буквами. . . .
Властивості лінійного простору
Основні приклади лінійних просторів будуть вказані нижче, а спочатку наведемо (без доведення) найпростіші властивості, ко-торие безпосередньо випливають з визначення лінійного про-простору.
Властивість 1. У кожному лінійному просторі існує єдиний
нульовий вектор.
Властивість 2. У кожному лінійному просторі для кожного вектора су-ществует єдиний протилежний вектор.
Властивість 3. У будь-якому лінійному просторі для всякого вектора має
місце рівність
У лівій частині рівності символ означає число нуль, а в пра-вої - нульовий вектор О.
Властивість 4. Твір будь-якого числа на нульовий вектор одно ну-лівому вектору, т. Е.
Властивість 5. Для кожного елемента протилежний елемент дорівнює
твору цього елемента на число - 1, т. е.
Якщо природа елементів, що входять в. а також правила обра-тання суми елементів і твори елемента на число вка-зани (причому III пункт і аксіоми IV пункту виконані), то ли-лінійне простір називають конкретним.
Приклади конкретних лінійних просторів
Приклад 1. Безліч дійсних чисел по відношенню до звичайних операцій додавання і множення чисел є речовим лінійним простором.
Приклад 2. Безліч всіх вільних векторів в просторі являє собою лінійний простір, бо все аксіоми IV пункту виконані (операції додавання векторів за правилом паралелограма і множення вектора на число визначені звичайним чином).
означають два рішення деякої системи лінійних однорідних рівнянь
Раніше було показано, що їх сума
і твір будь-якого з них (для визначеності) на довільне дійсне число
також будуть рішеннями системи (1.16).
Неважко показати, що безліч всіх рішень однорідної системи (1.16) є лінійним простором, у якого нульовим елементом є елемент О (0. 0. 0), а протилежним для елемента (..) Є елемент (-, -. -). Це твердження випливає з здійсненності восьми умов IV пункту, в чому легко переконатися в результаті елементарної перевірки кожного з них.
Приклад 4. Безліч. елементами якого служать впорядковані сукупність-ності довільних дійсних чисел = (..). Множе-ство можна розглядати як сукупність всіляких рядків, каж-дая з яких містить речових упорядкованих чисел. При цьому два рядки
вважаються різними, якщо порушено хоча б одне з рівності
Операції додавання елементів і безлічі. множення
елемента на дійсне число визначимо правилами
Якщо в якості нульового елемента візьмемо сукупність нулів О = (0. 0. ..., 0), а елементом, протилежним для елемента. буде елемент. то справедливість умов IV пункту встановлюється елементарної перевіркою кожного з них.
Приклад 5. Безліч всіх многочленів від однієї змінної. ступінь яких менше або дорівнює заданому числу. Легко бачити, що сума будь-яких двох многочленів і з є також многочлен, ступеня не вище. т. е. належить. а твір довільного числа на будь-який многочлен з є теж многочлен ступеня не вище. і, сле-послідовно, належить. Розуміючи, як зазвичай, під равенствами багато-членів і рівність їх коефіцієнтів при однакових степу-нях. легко безпосередньо перевірити, що всі аксіоми IV пункту виконан-нени. Зауважимо, що під нульовим елементом розуміється многочлен, у якого все коефі-цієнт дорівнюють нулю.
Приклад 6. Безліч всіх безперервних функцій від однієї змінної. яке позначають символом. так як для будь-яких безперервних на функцій і їх сума + неперервна на як сума безперервних функцій і твори числа і функції також неперервна, то є лінійним простором.
При вивченні векторної алгебри було введено поняття линів-ної комбінації векторів. Узагальнимо це поняття на випадок линів-ного простору.
Нехай означають довільні вектори линів-ного простору.
Визначення 1. Лінійної комбінацією векторів, називається сума добутків цих елементів на про-довільно речові числа. т. е. вектор
Числа. називаються коефіцієнтами цієї ли-лінійної комбінації.
Визначення 2. Векториназиваются ли-лінійного залежними. якщо существуютчіселне все рівні нулю, такі, що виконується рівність
Якщо ж рівність (2.18) можливо тільки в єдиному слу-чаї, коли
то вектори називаються лінійно незалежними.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Звернемося до лінійного простору. елементами якого є многочлени від однієї змінної. ступінь яких менше або дорівнює заданому числу.
утворюють в цьому просторі лінійно незалежну систему. Лінійна незалежність системи (1.19) випливає з того, що співвідношення
може бути виконано для будь-якого тільки в тому випадку, якщо
Приклад 2. У лінійному просторі, елементами якого є вільні вектори на площині, будь-які три вектори лінійно залежні, тобто. Е. Існують такі числа. нерівні нулю одночасно, що виконується співвідношення
Приклад 3. Функції лінійно залежні, так як співвідношення
виконується тотожно, якщо покласти.
Теорема. Якщо вектори лінійно залежні, то один з них може бути представлений у вигляді лінійної комбінації інших векторів. Доведення. Дійсно, якщо вектори лінійно залежні, тобто ви-виконується співвідношення (1.18), і при цьому допустити для визначеності, що. то
або, поділивши обидві частини останнього рівності на отримаємо
Ясно, що вірно і зворотне твердження. Остання рівність називається розкладанням вектора по векторах.
Базис і координати
Визначення 1. Система лінійно незалежних векторів лінійного простору називається базисом цього простору, якщо всякий вектор з цього простору можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів. тобто
де означають коефіцієнти лінійної комбінації.
Теорема. Коефіцієнти в розкладанні (2.20) визначаються єдиний-тиментом чином.
Доведення. Дійсно, припустимо навпаки, що для вектора існує два розкладання по векторах:
Віднімаючи почленно з першого рівності Друге, матимемо
Але так як вектори лінійно незалежні, то послід-неї рівність можливо тільки в тому випадку, якщо
звідки і слід єдиність подання вектора у вигляді лінійної комбінації векторів. Ці, єдиним чином визначаються числа. називаються координацію-натамі вектораотносітельно базису. і при цьому записуються
або у вигляді стовпчика
який називають координатним стовпчиком.
Приклад 1. У множині всіх вільних векторів в просторі трійка одиничних взаємно ортогональних векторів утворює базис. Координатами вектора щодо цього базису служать проекції вектора на координатні осі.
Приклад 2. У лінійному просторі многочленів. ступінь яких менше або дорівнює. одночлени
утворюють базис. Координатами всякого многочлена
в цьому базисі є його коефіцієнти.
У всякому фіксованому базисі всі вектори можна задавати системами з чисел - їх координатами в обраному базисі. Неважко перевірити, що якщо вектори задані своїми координатами, то їх додавання, віднімання і множення на число зводяться до відповідних дій над координатами.
Визначення 1. лінійно простір. в якому існує базис із векторів, називають -мірним. а число - розмірністю простору.
Іноді, щоб вказати розмірність простору пишуть.
Приклад 1. Безліч всіх вільних векторів на площині є двовимірним лінійним простором, а безліч всіх вільних векторів в просторі є тривимірним лінійним простором.
Приклад 2. Лінійне простір многочленів ступінь яких не вище 4, є пятімерном.
Визначення 2. Лінійне пространствоназивается безкінечномірні. якщо для кожного натурального числа в існує лінійно незалежних векторів.
Визначення 1. підпростір лінійного простору-стваназивается таке безліч елементів з, яка сама є лінійним простором з тими ж операціями додавання і множення на число.
Приклад 1. У лінійному просторі вільних векторів на пло-скостити безліч всіх векторів, паралельних будь-якої прямої, є подпространством.
Приклад 2. У просторі векторів, елементами якого є одностолбцовие матриці
де - будь-які дійсні числа, безліч векторів, що задовольняють системі однорідних лінійних рівнянь
утворює лінійне підпростір. Це випливає з того, що сума рішень системи (1.21) і твори рішення на будь-який дійсне число є також її рішеннями.
Приклад 3. Безліч всіх многочленів. ступінь яких не більше двох, є подпространством в просторі всіх многочленів. ступінь яких не більше чотирьох.
Приклад 4. Нульовий вектор лінійного простору утворює, очевидно, найменше з можливих підпросторів простору.
Приклад 5. Саме лінійне простір є найбільшим з можливих підпросторів простору.
Відзначимо два властивості підпросторів:
Властивість 1. Розмірність будь-якого підпростору в вимірному лінійному просторі не перевищує числа.
Властивість 2. Якщо в вимірному підпросторі -мірного простору обраний базис. то завжди можна додатково так вибрати вектори. що система векторів утворює базис в.