Якщо Ви знайомі з поняттям ізоморфізму, то можна використовувати його.
Помітив тут маааленькую методичну тонкість: зазвичай визначається тільки "ізоморфізм лінійних просторів", і тому для того, щоб говорити про ізоморфізмі, треба вже знати, що обидва простору - лінійні. Або вводити ізоморфізм в якомусь ширшому сенсі (в якому все і так його інтуїтивно розуміють) але начебто зазвичай так не роблять (хоча це і просто, але не зустрічав).
А як перевірити аксіоми?
Перш за все треба зрозуміти, що це все - ніякі не аксіоми. Це вимоги.
Тобто якщо ти - безліч з двома операціями певного виду ( "складання" і "множення на число"), і ти чиниш цим вимогам, то тобі вручають таку ось медаль, ну або диплом что-ли, що ти є лінійний простір.
А тепер - уявіть, що Ви сидите на в комісії, яка видає ці дипломи, і Вам надійшла заявка від конкретного безлічі з конкретнрой парою операцій. А саме, безліч матриць ось це Ваше. Вручите Ви йому диплом?
Тобто Ви повинні взяти список вимог, і безліч Ваше по пунктик перевіряти. Ну як перевірити коммутативность складання? Дуже просто. Потрібно перебрати всі пари матриць і переконатися, що. Хоч матриць і багато, але математиків такі речі не лякають. При цьому Ви вважаєте відомим, що подібний закон уже перевірений для чисел. А раз матриці складаються з чисел, то. Коротше, дивимося:
І тепер робимо дуже глибокодумне висновок: так як, то у цих матриць лівий верхній коефіцієнт однаковий. Доказ того, що інші коефіцієнти у них теж однакові, залишу в якості вправи. А коли Ви з ним благополучно впораєтеся, то рівність буде встановлено тому, що матриці [одного розміру] рівні тоді і тільки тоді, коли збігаються всі їх коефіцієнти; це таке визначення рівності матриць.
Все, далі самі.