Нормальна лінійна система диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами записується у вигляді \ [>>> = = \ sum \ limits_ ^ n> \ left (t \ right) \ left (t \ right)> + \ left (t \ right),> \; \; \] Де \ (\ left (t \ right)> \) - невідомі функції, які є безперервними і диференційовними на деякому інтервалі \ (\ left [\ right]. \) Коефіцієнти \ (> \ left (t \ right)> \) і вільні члени \ (\ left (t \ right) \) представляють собою безперервні функції, задані на інтервалі \ (\ left [\ right]. \)
Використовуючи векторно-матричні позначення, дану систему рівнянь можна записати як \ [> \ left (t \ right) = A \ left (t \ right)> \ left (t \ right) +> \ left (t \ right), \ ] де \ [> \ left (t \ right) = \ left (> \ left (t \ right)> \\ \ left (t \ right)> \\ \ vdots \\ \ left (t \ right)> \ end> \ right),> \; \; >> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \\> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \\ \ cdots \ cdots \ cdots \ Cdots \\> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \ end> \ right),> \; \;> \ left (t \ right) = \ left (> \ left (t \ right)> \\ \ left (t \ right )> \\ \ vdots \\ \ left (t \ right)> \ end> \ right).> \] У загальному випадку матриця \ (A \ left (t \ right) \) і вектор-функції \ (> \ left (t \ right), \) \ (> \ left (t \ right) \) можуть приймати як дійсні, так і комплексні значення.
Відповідна однорідна система зі змінними коефіцієнтами в векторній формі має вигляд \ [> \ left (t \ right) = A \ left (t \ right)> \ left (t \ right). \]
Фундаментальна система рішень і фундаментальна матриця
Вектор-функції \ (_ 1> \ left (t \ right), _ 2> \ left (t \ right), \ ldots, _n> \ left (t \ right) \) є лінійно залежними на інтервалі \ (\ left [\ right], \) якщо знайдуться такі числа \ (,, \ ldots ,, \) одночасно не рівні нулю, що виконується тотожність \ [_1> \ left (t \ right) + _2> \ left (t \ right) + \ cdots + _n> \ left (t \ right) \ equiv 0,> \; \; \ Right].> \] Якщо вказане тотожність виконується лише за умови \ [= = \ cdots = = 0, \] то вектор-функції \ (_ i> \ left (t \ right) \) називаються лінійно незалежними на заданому інтервалі.
Будь-яка система \ (n \) лінійно незалежних рішень \ (_ 1> \ left (t \ right), _ 2> \ left (t \ right), \ ldots, _n> \ left (t \ right) \) називається фундаментальною системою рішень .
Квадратна матриця \ (\ Phi \ left (t \ right), \) стовпці якої утворені лінійно незалежними розв'язками \ (_ 1> \ left (t \ right), _ 2> \ left (t \ right), \ ldots, _n> \ left (t \ right), \) називається фундаментальною матрицею системи рівнянь. Вона має такий вигляд: \ [\ Phi \ left (t \ right) = \ left (>> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \\> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \\ \ cdots \ cdots \ cdots \ Cdots \\> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \ end> \ right), \] де \ (> \ left (t \ right)> \) - координати лінійно незалежних векторних рішень \ (_ 1> \ left (t \ right), _2> \ left (t \ right), \ ldots, _n> \ left (t \ right). \)
Зауважимо, що фундаментальна матриця \ (\ Phi \ left (t \ right) \) є невироджених, тобто для неї завжди існує зворотна матриця \ (> \ left (t \ right). \) Оскільки фундаментальна матриця містить \ (n \) лінійно незалежних рішень, то при її підстановці в однорідну систему рівнянь отримуємо тотожність \ [\ Phi '\ left ( t \ right) \ equiv A \ left (t \ right) \ Phi \ left (t \ right). \] Помножимо це рівняння праворуч на зворотну функцію \ (> \ left (t \ right): \) \ [> \ left (t \ right) \ equiv A \ left (t \ right) \ Phi \ left (t \ right)> \ left (t \ right),> \; \;> \ left (t \ right).> \ ] Отримане співвідношення однозначно визначає однорідну систему рівнянь, якщо задана фундаментальна матриця.
Загальне рішення однорідної системи виражається через фундаментальну матрицю у вигляді \ [_ 0> \ left (t \ right) = \ Phi \ left (t \ right) \ mathbf, \] де \ (\ mathbf \) - \ (n \) - мірний вектор, що складається з довільних чисел.
Згадаємо один цікавий окремий випадок однорідних систем. Виявляється, якщо твір матриці \ (A \ left (t \ right) \) і інтеграла від цієї матриці коммутативно. тобто \ [A \ left (t \ right) \ cdot \ int \ limits_a ^ t = \ int \ limits_a ^ t \ cdot A \ left (t \ right), \] то фундаментальна матриця \ (\ Phi \ left (t \ right) \) для даної системи рівнянь має вигляд \ [\ Phi \ left (t \ right) = >>. \] Така властивість виконується в разі симетричних матриць і, зокрема, в разі діагональних матриць.
Визначник Вронського і формула Ліувілля-Остроградського
Визначник фундаментальної матриці \ (\ Phi \ left (t \ right) \) називається визначником Вронського або вронскіаном системи рішень \ (_ 1> \ left (t \ right), _ 2> \ left (t \ right), \ ldots, _n> \ left (t \ right): \) \ [_1>, _ 2>, \ ldots, _n >> \ right]> = >> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \\> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \\ \ cdots \ cdots \ cdots \ Cdots \\> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \ end> \ right |.> \] Визначник Вронського зручно використовувати для перевірки лінійної незалежності рішень. Справедливі наступні правила:Рішення \ (_ 1> \ left (t \ right), _ 2> \ left (t \ right), \ ldots, _n> \ left (t \ right) \) однорідної системи рівнянь є фундаментальною системою тоді і тільки тоді, коли відповідний вронскиан відмінний від нуля в будь-якій точці \ (t \) інтервалу \ (\ left [\ right]. \)
Рішення \ (_ 1> \ left (t \ right), _ 2> \ left (t \ right), \ ldots, _n> \ left (t \ right) \) є лінійно залежними на інтервалі \ (\ left [\ right] \) тоді і тільки тоді, коли вронскиан тотожно дорівнює нулю на цьому інтервалі.
Для визначника Вронського системи рішень \ (_ 1> \ left (t \ right), _ 2> \ left (t \ right), \ ldots, _n> \ left (t \ right) \) справедлива формула Ліувілля-Остроградського. \ [W \ left (t \ right) = \ left (\ right) d \ tau >>>, \] де \ (\ left (\ right)> \) - слід матриці \ (\) тобто сума всіх діагональних елементів: \ [\ text
Метод варіації постійних (метод Лагранжа)
Перейдемо до розгляду неоднорідних систем, які в векторно-матричної формі записуються у вигляді \ [\ mathbf \ left (t \ right) = A \ left (t \ right) \ mathbf \ left (t \ right) + \ mathbf \ left ( t \ right). \] Загальне рішення такої системи представляється у вигляді суми загального рішення \ (_ 0> \ left (t \ right) \) відповідної однорідної системи і приватного рішення \ (_ 1> \ left (t \ right) \) неоднорідною системи, тобто \ [\ Left (t \ right) = _0> \ left (t \ right) + _1> \ left (t \ right)> = + _1> \ left (t \ right),> \] де \ (\ Phi \ left (t \ right) \) - фундаментальна матриця, \ (\ mathbf \) - довільний числовий вектор.
Найбільш загальним методом вирішення неоднорідних систем є метод варіації постійних (метод Лагранжа). При використанні цього методу замість постійного вектора \ (\ mathbf \) ми розглядаємо вектор \ (\ mathbf \ left (t \ right), \) компоненти якого є безперервно диференціюються функціями незалежної змінної \ (t, \) тобто вважаємо \ [\ mathbf \ left (t \ right) = \ Phi \ left (t \ right) \ mathbf \ left (t \ right). \] Підставляючи цей вираз в неоднорідну систему, знаходимо невідомий вектор \ (\ mathbf \ left (t \ right): \) \ [\ require \ left (t \ right) = A \ left (t \ right) \ mathbf \ left (t \ right) + \ mathbf \ left (t \ right),> \ ; \; \ Left (t \ right)> + \ Phi \ left (t \ right) \ mathbf \ left (t \ right)> = \ left (t \ right)> + \ mathbf \ left (t \ right),> \ ; \; \ Left (t \ right) = \ mathbf \ left (t \ right).> \] З огляду на, що матриця \ (\ Phi \ left (t \ right) \) невироджених, помножимо останнє рівняння зліва на \ (> \ left (t \ right): \) \ [> \ left (t \ right) \ Phi \ left (t \ right) \ mathbf \ left (t \ right) => \ left (t \ right) \ mathbf \ left ( t \ right),> \; \; \ Left (t \ right) => \ left (t \ right) \ mathbf \ left (t \ right).> \] Після інтегрування одержуємо вектор \ (\ mathbf \ left (t \ right). \)