Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії
Локально компактний простір - топологічний простір. у кожної точки якого існує відкрита місцевість. замикання якого компактно [1] [2] [3]. Іноді використовується більш слабке визначення: досить щоб кожна точка мала компактну околиця (відкритість околиці тут не передбачається) [4] [5]. У разі хаусдорфова простору ці визначення еквівалентні.
Локально компактне хаусдорфово простір є цілком регулярним простором.
Одноточковий компактификацією топологічного простору X хаусдорфова тоді і тільки тоді, коли X локально компактно і хаусдорфово.
Підпростір X локально компактного хаусдорфова простору локально компактно тоді і тільки тоді, коли існують замкнуті підмножини A і B. такі що X = A # X2216; B. З цього випливає, що щільне підмножина локально компактного хаусдорфова простору локально компактно тоді і тільки тоді, коли воно відкрите. Більш того, якщо підпростір довільного хаусдорфова простору локально компактно, то його можна записати в вигляді різниці двох замкнутих підмножин; зворотне твердження в цьому випадку вже не так.
Твір сімейства топологічних просторів локально компактно тоді і тільки тоді, коли всі простори з сімейства локально компактні і всі вони, можливо за винятком кінцевого числа, компактні.
Образ локально компактного простору при безперервному відкритому відображенні на хаусдорфово простір локально компактний.
Факторпространством локально компактних хаусдорфових просторів є компактно породженими. Назад, будь компактно породжене хаусдорфово простір є факторпространством деякого локально компактного хаусдорфова простору.
Локально компактні групи
Визначення локальної компактності особливо важливо при вивченні топологічних груп. так як на будь-який Гаусдорфів локально компактній групі можна ввести міру Хаара. що дозволяє інтегрувати функції на цій групі. Міра Лебега на R> є окремим випадком заходи Хаара.