- гладке різноманіття, Гомі-морфних (кусочно лінійно изоморфное) сфері S ", але не діффеоморфное їй. Вперше приклад такого різноманіття був побудований Дж. Мілнора в 1956 (див. [1]); цей же приклад - перший приклад гомеоморфних, але не діффеоморфних різноманіть.
Побудова М. с. Будь-яке гладке замкнутий різноманіття, гомотопічно еквівалентну сфері S ", при гомеоморфним (і навіть кусочно лінійно ізоморфно) сфері (див. Пуанкаре гіпотеза узагальнена, h-кобпрдізм). Сигнатура замкнутого гладкого майже параллелізуемого різноманіття розмірності ділиться на число sk, експоненціально зростаюче з ростом k . Для будь-якого кімеется параллелізуемое різноманіття сигнатури 8 (саме, деревоподібна різноманіття Мілнора), край догрого є при гомотопічні сфера (див. [2]). Якби Мбило діффеоморфно сфері, то різноманіття, отримане з доб тичних конуса над краєм, було б гладким майже параллелізуемим замкнутим різноманіттям сигнатури 8. Таким чином, Помста М. с.
Є і ін. Приклад М. с. (Див. [5]).
Класифікація М. с. Є 28 різних (НЕ діффеоморфних) 7-мірних М. с. (В ці 28 різноманіть включена стандартна сфера S 7, і в подальшому термін "М. с." Використовується і для обозлаченія стандартної сфери S n).
Безліч всіх гладкості на кусочно лінійної сфері (точніше, згладжувань, але для сфер це одне і те ж) еквівалентно безлічі елементів групи Остання група при i<7 тривиальна, так что любая М. с. размерности, меньшей 7, диффеоморфна стандартной.
Нехай - безліч класів h-кобордантності n-мірних гладких різноманітті, гомотопічно еквівалентних сфері S n. Операція зв'язковий суми перетворює це безліч в групу, де нуль - клас h- кобордантності сфери S n. При n> 5 матеріалів групи qn знаходяться у взаємно однозначним дотриманням класами діффеоморфності n-мірних М. с. Для обчислення груп qn n> 5, задається (див. [3]) тривіалізація стабільного нормального розшарування (оснащення) М. с. М п. Це можливо, так як М п стабільно параллелізуемо. Отримане оснащене різноманіття визначає елемент стабільної гомотопіч. групи
Цей елемент залежить, взагалі кажучи, від вибору оснащення (- "багатозначне відображення"). Нехай - підгрупа в, що складається з М. с, обмежують параллелізуемие різноманіття. Побудоване багатозначне відображення індукує гомоморфізм де - стаціонарний Уайтхеда гомоморфізм і -ізоморфізм. Обчислення групи зводиться до задачі (невирішеною, 1982) обчислення групи і обчислення групи що робиться за допомогою Морса перебудов плівки (при збереженні краю). Нехай, тобто і параллелізуемо. Якщо W- стягують різноманіття, то після вирізання в Wмаленького диска різноманіття М h -кобордантно, тобто. Якщо пчетно, то можна так змінити Wпосредством перебудов Морса, що нове різноманіття стягуватиметься (тут потрібно параллелізуемость різноманіття Wи умова n> 5). Отже,
Випадок n + 1 = 4k. Якщо сигнатура s (W). різноманіття Wесть 0, то Wможно перебудовами Морса перетворити в стягують різноманіття, так що в цьому випадку Помста стандартна сфера. Якщо M = дW і M '= дW, то (тут - зв'язкова сума різноманіть А і В). Якщо, то, так що інваріант однозначно визначає елемент Якщо і то ділиться на. Назад, для будь-якого існує гладке замкнутий різноманіття з тому якщо і то гле параллелізуемо і
Елемент повністю визначається вирахуванням, і різні відрахування визначають різні різноманіття. Так як приймає будь-яке значення, кратне 8, то
Випадок n = 4k + 1. Нехай. Якщо Кервераінваріант різноманіття Wесть нуль, тобто, то Wперестраівается до стягують різноманіття, тобто [M] = 0. Нехай тепер Так як при не існує гладкого замкнутого майже параллелізуемого (що в розмірності рівносильно параллелізуемості) різноманіття з інваріантом Кервер, не рівним нулю, то Мені діффеоморфно В цьому випадку тобто
При і тих значеннях i, де існує різноманіття з ненульовим інваріантом Кервер,. тобто але питання про опис всіх таких не вирішене (1982), хоча при відповідь позитивна. Отже, є або 0.
Є інше уявлення М. с. Нехай в просторі W- алгебраїчне різноманіття з рівнянням
і є (2п + 1) -мірним сфера радіуса e (малого) з центром на початку координат. При відповідних значеннях є М. с. (Див. [4]). Напр. при n = 4 і a1 = 6k-1, а 2 = 3, a3 = a4 = a5 = 2 і k = 1, 2. 28 виходять все 28 7-мірних М. с.
Літ. : [1] Мілнор Дж., "Математика", 1957, т. 1, № 3, с. 35-42; [2] Мilnоr j. Kervaire М. в кн. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1958, Camb. 1960 p. 454 - 58; [3] їх же, "Ann. Math.", 1963, v. 77, № 3, p. 504-37: [4] Mілнор Дж. Особливі точки комплексних гіперповерхонь, пров. з англ. М. 1971; [5] Мілнор Д ж. Сташеф Дж. Характеристичні класи, пров. з англ. М. 1979. Ю. Б. Рудяк.
Математична енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.
СФЕРА СФЕРА - безліч Sn точок хевклідова простору En + 1, що знаходяться від деякої точки х 0 (центр С.) на постійній відстані R (радіус С.), т. Е. С. S0 - пара точок, С. S1 - це коло, С. Sn при n> 2 іноді наз. гіперсферу. Обсяг С. Sn (довжина при п = 1, поверхня при n = 2) обчислюється за ф
НЕСГЛАЖІВАЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ НЕСГЛАЖІВАЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ - кусочно лінійне або топологічне різноманіття, не допускає гладкою структури. Згладжуванням кусочно лінійного різноманіття Xназ. кусочно лінійний ізоморфізм де М- гладке різноманіття. Різноманіття, що не допускає згладжування, і зв. несглажіваемим мно