МАТЕМАТИЧНИЙ БІЙ №1.
1. Вздовж прямої дороги один за одним розташовано шість сіл: Дедкіно, Бабкіно, Внучкіно, Жучкин, Кошкіна, і Мишкін. Від Дедкіно до Жучкин - 16,2 км, від Бабкіно до Кошкіна - 15,3 км, від Внучкіно до Мишкін - 17,1 км, від Жучкин до Бабкіно - 11 км, від Кошкіна до Внучкіно - 12 км. Знайдіть відстань від Дедкіно до Мишкін.
2. Стінні годинник поспішають на дві хвилини в годину, а будильник відстає на 1 хвилину в годину. Вчора Петя одночасно поставив правильно і настінний годинник, і будильник. Коли він прокинувся, настінний годинник показували 7 год 30 хв, а будильник - 7 год. Скільки часу було насправді, коли Петя прокинувся?
3. Кінь з'їдає копицю сіна за 2 доби, корова - за 3 доби, вівця - за 6 діб. За якийсь час з'їдять копицю сіна кінь, корова і вівця разом?
4. Четверо купців помітили, що якщо вони складуться без першого, то зберуть 90 р. без другого - 85 р. без третього - 80 р. без четвертого - 75 р. Скільки у кого грошей?
5. На малюнку праворуч поміщені три фотографії одного і того ж грального кубика. Намалюйте розгортку цього кубика.
6. 14 команд грають між собою чемпіонат - в кожному турі зустрічаються якісь 7 пар команд, які не грали між собою раніше. Доведіть, що можна так провести перші 7 турів, що жодного туру більше зіграти не вдасться.
8. Розглянемо дев'ять точок розташованих в вершинах, серединах сторін і в центрі квадрата. Яке найменше число точок з цих дев'яти можна прибрати, щоб ніякі 4 з решти точок не лежали в вершинах квадрата (вказати, які прибрати, і чому меншим числом точок не можна обійтися)?
1. Катя, Лена, Маша і Ніна брали участь в концерті. Кожну пісню співали 3 дівчинки. Катя співала 8 пісень - більший за всіх, Ніна співала 5 пісень - менше всіх. Скільки пісень було проспівано?
2. Відріжте від шнура довжиною метра шматок, довжиною півметра, не користуючись лінійкою.
3. У класі 19 лижників, 8 плавців і 11 велосипедистів. Відомо, що кожен учень займається або одним видом спорту, або трьома видами. Відомо, що трьома видами займається 5 осіб. Скільки в класі учнів?
4. Натуральне число помножили на суму його цифр і отримали в результаті 1000. Яким могло бути вихідне число?
5. На дошці були написані кілька перших натуральних чисел. Коли одна з чисел стерли, сума решти виявилася дорівнює 89. Яке число стерли?
6. У Васі є незамкнута ланцюжок з 23 ланок. Вася розтулив в ній найменше можливе число ланок так, щоб можна було віддати будь-яку кількість ланок від 1 до 23. Скільки ланок розтулив Вася? (Розсування однієї ланки ділить ланцюжок на три частини, одна з яких - саме розімкнуте ланка.)
7. Камені, складені в дві купи, зібрали і розклали в три купи. Доведіть, що хоча б один камінь виявився в меншій купі, ніж та, в якій він лежав раніше.
8. У таблиці 33 розставлені натуральні числа таким чином, що сума чисел у будь-якому рядку, кожному стовпці і в кожної з двох великих діагоналей ділиться на 9. Доведіть, що число в центральній клітці ділиться на 3.
Матбой №1 (5-6 кл)
1. Вздовж прямої дороги один за одним розташовано шість сіл: Дедкіно, Бабкіно, Внучкіно, Жучкин, Кошкіна, і Мишкін. Від Дедкіно до Жучкин - 16,2 км, від Бабкіно до Кошкіна - 15,3 км, від Внучкіно до Мишкін - 17,1 км, від Жучкин до Бабкіно - 11 км, від Кошкіна до Внучкіно - 12 км. Знайдіть відстань від Дедкіно до Мишкін.
Відповідь. 22,6 км.
2. Стінні годинник поспішають на дві хвилини в годину, а будильник відстає на 1 хвилину в годину. Вчора Петя одночасно поставив правильно і настінний годинник, і будильник. Коли він прокинувся, настінний годинник показували 7 год 30 хв, а будильник - 7 год. Скільки часу було насправді, коли Петя прокинувся?
Відповідь: 7 год 10 хв.
3 .Лошадь з'їдає копицю сіна за 2 доби, корова - за 3 доби, вівця - за 6 діб. За якийсь час з'їдять копицю сіна кінь, корова і вівця разом?
Відповідь. За добу. Розділимо копицю на 6 однакових частин. За добу кінь з'їсть 3 частини, корова - 2часті, а вівця - 1 частина.
4. Четверо купців помітили, що якщо вони складуться без першого, то зберуть 90 р. без другого - 85 р. без третього - 80 р. без четвертого - 75 р. Скільки у кого грошей?
Відповідь: Всього грошей у купців (90 + 85 + 80 + 75): 3 = 110 р. Тому у першого 110-90 = 20 р. у другого 110-85 = 25 р. у третього 110-80 = 30 р. а у четвертого 110-75 = 35 р.
5. На малюнку праворуч поміщені три фотографії одного і того ж грального кубика. Намалюйте розгортку цього кубика.
Рішення. Одна з можливих розгорток показана на малюнку справа. Є, звичайно, й інші, але кубик - рівно один. • Для повного бали досить привести одну вірну розгортку і пояснити, чому вона годиться. Дослідження не потрібно. Приведення вірною розгортки без обґрунтування - 8 балів і задача вирішена.
6. 14 команд грають між собою чемпіонат - в кожному турі зустрічаються якісь 7 пар команд, які не грали між собою раніше. Доведіть, що можна так провести перші 7 турів, що жодного туру більше зіграти не вдасться.
Рішення. Розіб'ємо команди на дві групи по 7 команд. Очевидно, можна провести перші сім турів так, щоб кожна команда з однієї групи зіграла з кожною командою з іншої. Після цього всі матчі повинні відбуватися всередині груп, а 7 команд розбити на пари неможливо.
8. Розглянемо дев'ять точок розташованих в вершинах, серединах сторін і в центрі квадрата. Яке найменше число точок з цих дев'яти можна прибрати, щоб ніякі 4 з решти точок не лежали в вершинах квадрата (вказати, які прибрати, і чому меншим числом точок не можна обійтися)?
Відповідь: 3 точки. Обов'язково повинна бути прибрана одна з вершин вихідного квадрата і одна з середин сторін. Простим перебором переконайтеся, що цього недостатньо.
Матбой № 2 (5-6 кл)
1. Катя, Лена, Маша і Ніна брали участь в концерті. Кожну пісню співали 3 дівчинки. Катя співала 8 пісень - більший за всіх, Ніна співала 5 пісень - менше всіх. Скільки пісень було проспівано?
Відповідь: 27. Число пісень ділиться на 3.
2. Відріжте від шнура довжиною метра шматок, довжиною півметра, не користуючись лінійкою.
Рішення. Зігнути два рази навпіл і відрізати метра.
3. У класі 19 лижників, 8 плавців і 11 велосипедистів. Відомо, що кожен учень займається або одним видом спорту, або трьома видами. Відомо, що трьома видами займається 5 осіб. Скільки в класі учнів?
Відповідь: 19 + 8 + 11-5 * 2 = 28.
4. Натуральне число помножили на суму його цифр і отримали в результаті 1000. Яким могло бути вихідне число?
Відповідь: 125 або 1000. Ясно, що вихідне число дорівнює одному з 16 дільників числа 1000. Простим перебором знаходимо відповіді.
5. На дошці були написані кілька перших натуральних чисел. Коли одна з чисел стерли, сума решти виявилася дорівнює 89. Яке число стерли?
Рішення. Сума 13 перших натуральних чисел дорівнює 91. Ясно, що менше і більше чисел написано бути не може. Значить, стерли число 2.
6. У Васі є незамкнута ланцюжок з 23 ланок. Вася розтулив в ній найменше можливе число ланок так, щоб можна було віддати будь-яку кількість ланок від 1 до 23. Скільки ланок розтулив Вася? (Розсування однієї ланки ділить ланцюжок на три частини, одна з яких - саме розімкнуте ланка.)
Відповідь: 2. Рішення. Одного ланки не вистачить, тому що з трьох одержані шматків вдасться скласти не більше 7 комбінацій. Приклад на 2: разрежем четверте і одинадцятий ланка. • Приклад без оцінки - з 4 балів.
7. Камені, складені в дві купи, зібрали і розклали в три купи. Доведіть, що хоча б один камінь виявився в меншій купі, ніж та, в якій він лежав раніше.
Рішення. Нехай це не так, тобто всі камені потрапили не в менші купи. Нехай найбільша з трьох нових куп більше або дорівнює найбільшою з двох старих. Тоді кожна з двох, що залишилися нових куп менше будь-який з двох старих, і всі камені в цих двох нових купах - шукані. Якщо ж найбільша з трьох нових куп менше найбільшої з двох старих, то в менші купи після перекладання потрапили всі камені зі старої найбільшою.
8. У таблиці 33 розставлені натуральні числа таким чином, що сума чисел у будь-якому рядку, кожному стовпці і в кожної з двох великих діагоналей ділиться на 9. Доведіть, що число в центральній клітці ділиться на 3.
Рішення. Знайшовши суми чисел в середніх рядку і стовпці, а також на двох діагоналях, а потім, склавши їх, одержимо число, що ділиться на 9. Воно дорівнює сумі всіх чисел таблиці (яка теж ділиться на 9, бо дорівнює сумі трьох сум по рядках) плюс утроенное число в центрі. Виходить, що утроенное центральне число ділиться на 9, а саме центральне число - на 3.