Рівняння математичної фізики - Метод кінцевих різниць (метод сіток)
Ідея методу скінченних різниць (методу сіток) відома давно, з відповідних праць Ейлера. Однак практичне застосування цього методу було тоді дуже обмежена через величезний обсяг ручних обчислень, пов'язаних з розмірністю одержуваних систем алгебраїчних рівнянь, на вирішення яких потрібні роки. В даний час, з появою швидкодіючих комп'ютерів, ситуація в корені змінилася. Цей метод став зручний для практичного використання і є одним з найбільш ефективних при вирішенні різних завдань математичної фізики.
Основна ідея методу кінцевих різниць (методу сіток) для наближеного чисельного рішення крайової задачі для двовимірного диференціального рівняння в приватних похідних полягає в тому, що
1) на площині в області А. в якій шукається рішення, будується сіткова областьАs (рис.1), що складається з однакових осередків розміром s (s - крок сітки) і є наближенням даної області А;
2) заданий диференціальне рівняння в приватних похідних замінюється в вузлах сітки Аs відповідним кінцево-різницевим рівнянням;
3) з урахуванням граничних умов встановлюються значення шуканого рішення в граничних вузлах області Аs.
Мал. 1. Побудова сіткового області
Вирішуючи отриману систему кінцево-різницевих рівнянь алгебри, отримаємо значення шуканої функції у вузлах сітки Аs. тобто наближене чисельне рішення крайової задачі. Вибір сіткової області Аs залежить від конкретного завдання, але завжди треба прагнути до того, щоб контур гратчастої області Аs найкращим чином апроксимувати контур області А.
Розглянемо рівняння Лапласа
де p (x. y) - шукана функція, x. y - прямокутні координати плоскою області і отримаємо відповідне йому звичайно-різницеве рівняння.
Замінимо приватні похідні і в рівнянні (1) кінцево-різницевими стосунками:
Тоді вирішуючи рівняння (1) щодо p (x. Y), отримаємо:
Задавши значення функції p (x. Y) в граничних вузлах контуру гратчастої області Аs відповідно до граничних умов і вирішуючи отриману систему рівнянь (2) для кожного вузла сітки, отримаємо чисельне рішення крайової задачі (1) в заданій області А.
Ясно, що число рівнянь виду (2) дорівнює кількості вузлів сіткової області Аs. і чим більше вузлів (тобто чим дрібніше сітка), тим менше похибка обчислень. Однак треба пам'ятати, що зі зменшенням кроку s зростає розмірність системи рівнянь і отже, час рішення. Тому спочатку рекомендується виконати пробні обчислення з досить великим кроком s. оцінити отриману похибка обчислень, і лише потім перейти до більш дрібної сітці у всій області або в якійсь її частині.