Квадратурні формули інтерполяційного типу
Будемо розглядати формули наближеного обчислення інтегралів
де задана інтегрована функція (так звана вагова функція) і досить гладка функція. Розглянуті нижче формули мають вигляд
де і числа,.
На відміну від попереднього параграфа не будемо розбивати відрізок на часткові відрізки, а отримаємо квадратурні формули шляхом заміни інтерполяційним многочленом відразу на всьому відрізку. Отримані таким чином формули називаються квадратурними формулами интерполяционного типу. Як правило, точність таких формул зростає зі збільшенням числа вузлів інтерполяції. Розглянуті в п. 3.1 формули прямокутників, трапеції і Сімпсона є окремими випадками квадратурних формул інтерполяційного типу, коли. .
Отримаємо вирази для коефіцієнтів квадратурних формул інтерполяційного типу. Нехай на відрізку задані вузли інтерполяції. . Передбачається, що серед цих вузлів немає співпадаючих, в іншому вони можуть бути розташовані як завгодно на.
Функцію будемо замінювати інтерполяційним поліномом Лагранжа (див. Лекція 2, формула (2.4))
Часто вираз записують в іншому вигляді. Введемо многочлен ступеня
і обчислимо його похідну в точці:
Тоді отримаємо, що
Замінюючи в інтегралі (3.25) функцію інтерполяційним многочленом Лагранжа
отримаємо наближену формулу (3.26) (довести, будинок. зад. №4), де
Таким чином, формула (3.26) є квадратурной формулою интерполяционного типу тоді і тільки тоді, коли її коефіцієнти обчислюються за правилом (3.28).
Метод Гаусса обчислення певних інтегралів
У попередньому параграфі передбачалося, що вузли квадратурних формул задані заздалегідь. Можна показати, що якщо використовувати вузлів інтерполяції, то отримаємо квадратурні формули, точні для алгебраїчних многочленів ступеня. Виявляється, що за рахунок вибору вузлів можна отримати квадратурні формули, які будуть точними і для многочленів ступеня вище. Розглянемо наступну задачу: побудувати квадратурної формули
яка при заданому була б точна для многочлена якомога більшою мірою. Тут для зручності викладу нумерація вузлів починається с.
Такі квадратурні формули існують. Вони називаються формулами Гаусса. Ці формули точні для будь-якого многочлена ступеня.
Отже, будемо вимагати, щоб квадратурная формула (3.29) була точна для будь-якого многочлена ступеня. Це еквівалентно вимогу, щоб формула була точна для функцій. . Звідси отримуємо умови
які представляють собою нелінійну систему рівнянь щодо невідомих
Для того, щоб число рівнянь дорівнювало числу невідомих, треба вимагати.
При розгляді квадратурних формул (3.29) загального вигляду, введемо многочлен
Будемо вважати, що.
Теорема 1. Квадратурна формула (3.29) точна для будь-якого многочлена ступеня тоді і тільки тоді, коли виконані дві умови:
1. Многочлен ортогонален з вагою будь-якому многочлену ступеня менше. тобто
2. Формула (3.29) є квадратурной формулою интерполяционного типу, тобто
Використання теореми 1 істотно спрощує побудова формул Гаусса.
Умова (3.32) еквівалентно вимогам
які представляють собою систему рівнянь щодо невідомих. Таким чином, для побудови формул Гаусса досить знайти вузли з співвідношень ортогональности (3.34) і потім обчислити коефіцієнти згідно (3.33).
Розглянемо кілька окремих випадків, коли рішення системи (3.34) можна знайти безпосередньо.
Нехай. . . При отримуємо і
(Отримати рішення, будинок. Зад. №4).