логарифмічних нерівностей
(Завдання С3 ЄДІ)
Корянов А.Г. Прокоф'єв А.А.
· Метод рівносильних переходів;
· Рішення нерівності на проміжках;
· Узагальнений метод інтервалів;
Крім того, в ряді репетиційних робіт для вирішення нерівностей використовувалися нестандартні методи:
· Метод оцінки, зокрема, використання класичних нерівностей.
Зупинимося на перерахованих вище методах вирішення.
Метод рівносильних переходів
При вирішенні нерівностей використовують перетворення, при яких безліч рішень нерівності або не змінюється, або розширюється (можна отримати сторонні рішення). Тому важливо знати, які перетворення нерівності є рівносильними і за яких умов.
Почнемо з прикладів, в яких використовуються логарифми з постійними підставами.
Нехай логарифмічна нерівність вдалося звести до виду
тоді для подальшого вирішення застосовується одна зі схем.
Якщо число. то
Якщо число. то
При виведенні цих схем рішення нерівності використовується властивість монотонності функції на множині. При функція зростаюча, при - спадна.
Зауваження. При вирішенні строгої нерівності в схемах (1) і (2) несуворі нерівності замінюються строгими.
Приклад 1.Решіть нерівність
Рішення . Так як функція строго зростає на множині. то таку нерівність можна замінити рівноцінною системою
Розглянемо нерівності, в яких присутні логарифми з перемінним підставою.
З попереднього пункту випливає, що нерівність зазначеного виду рівносильно сукупності систем нерівностей.
Зауваження. При вирішенні строгої нерівності в схемі (3) несуворі нерівності замінюються строгими.
Приклад 2.Решіть нерівність
Рішення . Запишемо нерівність у вигляді
і замінимо його равносильной сукупністю двох систем
Вирішимо систему (I): Маємо
Звідси отримуємо (див. Рис. 1) рішення (I):