§7.4 Ряди і твори
Обчислення суми ряду та творів.
Кінцеві і нескінченні суми обчислюються командою прямого виконання sum і відкладеного виконання Sum. Аргументи цих команд однакові: sum (expr, n = a..b), де expr - вираз, залежне від індексу підсумовування, a..b - межі індексу підсумовування, що вказують, що підсумовувати слід від n = a до n = b.
Якщо потрібно обчислити суму нескінченного ряду, то в якості верхньої межі вводиться infinity.
Аналогічним чином обчислюються твори командами прямого product (P (n), n = a..b) і відкладеного дій Product P (n), n = a..b).
Завдання 4.1.
1. Знайти повну і N частковий суми ряду, загальний член якого дорівнює: an =.
> S: = limit (rhs (S [N]), N = + infinity);
2. До якої функції сходиться статечної ряд:?
> Sum ((- 1) ^ (n + 1) * n ^ 2 * x ^ n, n = 1..infinity) =
3. Знайти суму статечного ряду.
4. Знайти суму біноміального ряду.
> Sum (binomial (n, 4) * (1-x) ^ n, n = 1..infinity) =
5. Обчислити нескінченне твір:
Розкладання функції в статечної ряд і ряд Тейлора.
Розкладання функції f (x) в статечної ряд в околиці точки а
здійснюється командою series (f (x), x = a, n), де а - точка, в околиці якої проводиться розкладання, n - число членів ряду.
Аналогічної дії команда taylor (f (x), x = a, n) розкладає функції f (x) в околі точки x = a до порядку n -1 за формулою Тейлора.
Команди series і taylor видають результат, який має тип series. Для того, щоб мати можливість подальшої роботи з отриманим розкладанням, його слід перетворити в поліном за допомогою команди convert (%, polynom).
Функцію багатьох змінних f (x1, ..., xn) можна розкласти в ряд Тейлора по набору змінних (x1, ..., xn) в околиці точки (a1, ..., an) до порядку n за допомогою команди mtaylor (f (x), [ x1, ..., xn], n). Ця команда знаходиться в стандартній бібліотеці, тому перед використанням повинна бути викликана readlib (mtaylor).
Завдання 4.2.
1. Розкласти в статечної ряд в околиці х0 = 0, утримуючи 5 перших членів.
> F (x) = series (exp (-x) * sqrt (x + 1), x = 0, 5);
2. Побудувати на одному малюнку графіки інтеграла помилок і його розкладання в ряд Тейлора в околиці нуля.
> Taylor (erf (x), x, 8): p: = convert (%, polynom);
Пунктирною лінією зображено графік ряду Тейлора, а суцільний - самої функції.
3. Розкласти в ряд Тейлора в околі точки (0, 0) до 6-ого порядку.
> F = mtaylor (sin (x ^ 2 + y ^ 2), [x = 0, y = 0], 7);
Створення власних процедур. Розкладання функції в ряд Фур'є.
У Maple є можливість створювати власні процедури. Процедура починається з заголовка. Тема складається з імені процедури (його користувач визначає сам), далі йде обов'язковий оператор присвоювання: = і службове слово proc. після якого в круглих дужках через кому вказуються формальні параметри процедури.
Для уникнення неполадок роботи процедури, рекомендується в рядку заголовка процедури описувати змінні, які будуть використовуватися тільки усередині тіла процедури (вони називаються локальними змінними). Для цього використовується службове слово local. після якого через кому перераховуються локальні змінні.
Після заголовка слід основне тіло процедури, що складається з складених користувачем команд, причому остання команда буде виводити остаточний результат виконання процедури. Процедура повинна обов'язково закінчуватися службовим словом end.
Загальний вигляд процедури (стандартний синтаксис):
> Name: = proc (var1, var2, ...) local vloc1, vloc2, ...;
У Maple немає команди, що дозволяє виробляти розкладання функції в тригонометричний ряд Фур'є. Однак можна створити власну процедуру розкладання ряд Фур'є. Нехай потрібно розкласти на інтервалі [x1, x2] 2l -періодичних функцію f (x). Тоді ряд Фур'є має вигляд:
Отримати перші n членів ряду Фур'є можна за допомогою такої процедури:
> Fourierseries: = proc (f, x, x1, x2, n) local k, l,
Порядок звернення до цієї процедури такий: fourierseries (f, x, x1, x2, n). де f - ім'я функції, розкладання якої потрібно знайти, де х - ім'я незалежної змінної, де х1, x2 - інтервал розкладання, де n - число членів ряду.
Завдання 4.3.
Спочатку повністю наберіть процедуру fourierseries. запропоновану вище в теоретичній частині.
> Plot (, x = x1..x2, color = [blue, black],
Пунктирною лінією зображено графік n частковий суми ряду Фур'є, а суцільний - самої функції. По виду n частковий суми ряду Фур'є в даному прикладі легко встановити загальний вигляд цього ряду:
> Plot (, x = x1..x2, color = [black, blue, green, red], thickness = 2, linestyle = [1,3,2,2]);
Суцільною лінією зображено графік функції, пунктирними - графіки n частковий сум ряду Фур'є. Видно, що чим більше доданків ряду утримувати, тим ближче розташований графік суми ряду до графіку самої функції.