Простий і наочний спосіб визначення швидкостей плоскої фігури заснований на понятті про миттєве центрі швидкостей (МЦС). Їм називають точку рухомий площині, в якій розташована плоска фігура S і швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю.
Доведено теорему про те, що якщо тіло рухається не поступально, то така точка існує, і притому єдина. З визначення випливає, що в загальному випадку в кожен момент часу МЦС знаходиться в різних точках площини. При обертальному русі тіла навколо нерухомої осі, що є окремим випадком плоскопараллельного руху, МЦС в будь-який момент часу розташований на осі обертання. Якщо ж тіло рухається поступально або миттєво поступально (швидкості всіх точок тіла в даний момент часу рівні за величиною і збігаються за напрямком), то МЦС знаходиться на нескінченно великій відстані від будь-якої точки тіла. Вибравши в якості полюса точку Р. яка є в даний момент часу МЦС, а значить. з формули (3.4) для визначення швидкості будь-якої точки плоскої фігури знайдемо швидкість точки М
Отже, швидкість будь-якої точки тіла в даний момент часу знаходимо так само, як при обертанні навколо нерухомої осі, що проходить через МЦС і перпендикулярній площині руху. Таким чином, при плоскопаралельному русі швидкість будь-якої точки тіла перпендикулярна відрізку, що з'єднує цю точку з МЦС, а модуль швидкості пропорційний відстані до МЦС
Кутова швидкість плоскої фігури дорівнює відношенню швидкості будь-якої її точки до відстані від цієї точки до МЦС
Способи визначення положення миттєвого центру швидкостей:
1) якщо відомі напрямки швидкостей і точок А і В плоскої фігури, то МЦС (точку Р) визначають як точку перетину перпендикулярів до швидкостей і. проведених з цих точок (рис. 3.3, а);
2) якщо швидкості двох точок тіла A і B відомі по модулю, паралельні один одному (||), і перпендикулярні прямий AB. то МЦС знаходять в точці перетину прямої АВ з прямою, що з'єднує кінці векторів швидкостей і (рис. 3.3, б, в);
3) при коченні без ковзання одного тіла по нерухомій поверхні МЦС знаходять в точці зіткнення тіл (рис. 3.3, г), так як при відсутності ковзання швидкість цієї точки рухомого тіла дорівнює нулю;
4) якщо швидкості точок A і B тіла і паралельні один одному (||) і не перпендикулярні прямий АВ. то перпендикуляри до них також паралельні один одному. В цьому випадку МЦС знаходиться в нескінченному віддаленні від точок A і B. рух тіла є миттєво поступальним, отже, швидкості всіх точок тіла рівні, а його кутова швидкість в даний момент часу дорівнює нулю.
За допомогою МЦС плоскопараллельное рух можна уявити не тільки як складне, що складається з поступального і обертального рухів, але і як простий рух, що складається з серії елементарних послідовних поворотів навколо МЦС. Необхідно відзначити, що положення МЦС в просторі в усі час руху змінюється. Геометричне місце точок МЦС рухомого тіла називають рухомий центр ваги. а нерухомого тіла - нерухомою центр ваги. Таким чином, плоскопараллельное рух являє собою кочення без ковзання рухомий центроїди по нерухомій центр ваги.
Приклад 1. Колесо котиться без ковзання по нерухомій прямій поверхні. Швидкість точки O постійна і дорівнює 100 см / с (рис. 3.4, а).
Визначити кутову швидкість колеса, швидкості точок A. B. C і прискорення точок A. C. P. якщо R = 50 см, r = 40 см.
Колесо робить плоскопараллельное рух. Кочення відбувається без ковзання, отже, в даному випадку точка дотику колеса з нерухомою поверхнею - точка P - є МЦС. Визначимо кутову швидкість колеса відповідно до формули (3.10)
Знаючи відстані від точок A. B і C до МЦС, можна знайти їх швидкості за формулою (3.9)
Вектори швидкостей точок колеса спрямовані перпендикулярно відрізкам, що з'єднує їх з МЦС (див. Рис. 3.4, б). Відповідно до теореми про проекціях швидкостей двох точок тіла на пряму, що сполучає ці точки, переконуємося в правильності отриманих результатів.
Перейдемо до визначення прискорень, для чого скористаємося формулами (3.6) і (3.7). Як полюса вибираємо точку O. Прискорення полюса дорівнює нулю, так як ця точка рухається рівномірно і прямолінійно. Тому прискорення точок будуть рівні їх прискорень в обертальному русі навколо полюса. Наприклад, для точки А
Диференціюючи за часом вираз і враховуючи, що OP = const і = const, одержимо Таким чином, прискорення всіх точок, включаючи МЦС, складаються з осестремітельних прискорень в обертанні навколо полюса Про
і спрямовані від відповідних точок до полюса (див. рис 3.4, в).
Приклад 2. Кривошип ОА кривошипно-ползунного механізму, наведеного на рис. 3.5, обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю і кутовим прискоренням. Положення механізму визначається кутом.
Знайти кутову швидкість і кутове прискорення шатуна АВ. а також швидкість і прискорення повзуна B. якщо довжина кривошипа ОА = 10 см, а довжина шатуна АВ = 30 см.
Спочатку визначимо швидкість точки А кривошипа
Потім, знаючи напрямки швидкостей точок А і В. знайдемо положення МЦС на перетині перпендикулярів до швидкостей цих точок - точку P. Для визначення кутової швидкості шатуна і швидкості точки В знаходимо довжини відрізків, що з'єднують точки А і В з МЦС. З теореми синусів слід, що
Обчислимо довжини відрізків:
Тепер знайдемо шукані величини:
Визначимо прискорення точки В і кутове прискорення шатуна АВ. Тут треба мати на увазі, що відстань від точки А до МЦС не є постійним і залежить від положення механізму, тобто від часу. Тому продифференцировать за часом кутову швидкість шатуна не представляється можливим. Поступимо таким чином. Для знаходження прискорення точки В скористаємося векторним рівністю (3.6)
і спроеціруем його на осі координат xOy (див. рис. 3.5). При цьому врахуємо, що вектор лежить на прямій ОВ. так як точка В рухається прямолінійно, вектор направлений до полюса А. а вектор перпендикулярний йому. Отримаємо два алгебраїчних рівняння для визначення величин і напрямків прискорень і (спочатку направляємо шукані вектори довільно):
Попередньо обчислимо складові прискорення відповідно до формул (3.7):
- з 2-го рівняння
- з 1-го рівняння
Знаки показують, що напрямок прискорення збігається з прийнятим, а напрямок - протилежно напрямку, зазначеному на рис. 3.5. Знаючи прискорення. можна знайти кутове прискорення шатуна
Питання для самоконтролю
1. Який рух твердого тіла називають плоскопаралельним?
2. На які найпростіші рухи можна розкласти плоскопараллельное рух?
3. Які рівняння описують плоскопараллельное рух?
4. Як визначають швидкість довільної точки плоскої фігури, якщо відома швидкість полюса?
5. Яку точку плоскої фігури називають миттєвим центром швидкостей (МЦС)?
6. Як розподілені швидкості точок тіла по відношенню до МЦС?
7. Які існують способи визначення положення МЦС?
8. Як визначають прискорення довільних точок тіла, що здійснює плоскопараллельное рух?