Множення вектора на скаляр
Дія множення вектора на скаляр є природним узагальненням знань, отриманих при вирішенні прикладних задач. Твори (або) ВЕКТОРА НА СКАЛЯРИЯ L є вектор, який має модуль, що дорівнює добутку модуля даного вектора на абсолютну величину скаляра, і орієнтацію, збігається з орієнтацією даного вектора, якщо скаляр позитивний, або ж протилежну, якщо скаляр менше нуля.
Очевидно, що твір вектора на скаляр звернеться в нуль, якщо один із співмножників дорівнює нулю.
Нехай дано вектор і скаляр. Введене дію підпорядковується наступним законам:
1., де - також скалярний множник. Це рівність визначає сполучний закон щодо скалярних множників. Дійсно, як випливає з визначення, послідовність виконання операцій в лівій і правій частинах цієї рівності не впливає на результат.
2. - розподільний закон скалярного сомножителя щодо суми векторів;
- розподільний закон векторного сомножителя щодо суми скалярів;
3. - сполучний закон щодо скалярних сомножителей.
Рівності 2 висловлюють закон двоякою розподільних і дозволяють, як в алгебрі числових величин, виконувати почленно дії множення суми векторів на скаляр і суми скалярів на вектор. Наприклад, якщо дані вектори і, наведені до загального початку 0 (рис. 3.14, а), скаляр і, то вектор, зображений на рис. 3.14, б, виявиться рівним вектору побудованому на рис. 3.14, в. Це і підтверджує перше з рівностей закону двоякою розподільні.
Мал. 3.14. Розподільчий закон щодо
Скалярного множника.
Операція ділення вектора на скаляр визначається через вже введену операцію множення:
Операція ділення вектора на вектор не має особливого сенсу при вирішенні реальних прикладних задач, тому в векторній алгебрі вона зазвичай не вводиться.
Отже, ми визначили лінійні операції над векторами. Ці операції дуже важливі для формулювання багатьох законів фізики. Так, наприклад, другий закон Ньютона записується у вигляді:
Де m - маса, - прискорення точки.
Який фізичний зміст має величина, що дорівнює добутку кутового прискорення на момент інерції I?
Можливо, геніальність Ньютона як раз і полягала в тому, що за часів, коли векторна алгебра тільки зароджувалася, він зумів зрозуміти зв'язок між векторними величинами, котрі характеризують різні силові дії на тіло, і однією єдиною векторною величиною, що визначає його динаміку і має навіть зовсім іншу розмірність, - вектором прискорення. Цей зв'язок здійснюється через скалярний множник m-маса точки, яка, за його першим законом, є мірою інерції тіла.
Розвиток математичних ідей підштовхує, стимулює прикладні дослідження. Саме так сталося з одним із фундаментальних понять математики, заснованим на виконанні лінійних операцій над векторами - поняттям лінійної залежності. Виникнувши в математиці, воно поглибило уявлення про різні фізичні процеси і сприяло народженню багатьох відкриттів.