Векторна алгебра. Вектори.
П.1 основні визначення.
Існують скалярні і векторні величини. Скалярні характеризуються своїм чисельним значенням (наприклад, температура, робота, щільність, ...), а векторні, крім чисельного значення, мають також напрямком в просторі (наприклад, сила, швидкість, ...).
Визначення 1.Вектором називається спрямований відрізок з початковою точкою А і кінцевої В.
Початок вектора називається його точкою докладання.
Визначення 2.Дліной вектора називається довжина відрізка. Число, рівне довжині вектора, виміряного обраної масштабної одиницею, називається модулем.
Задати вектор - це значить поставити його модуль і напрямок в просторі.
Визначення 3. Вектор називається одиничним. якщо = 1. Вектор називається нульовим або нуль-вектором, якщо. Нульовий вектор має будь-який напрямок.
Визначення 4. Вектори і називаються сонаправленнимі. якщо вони паралельні (лежать на одній або паралельних прямих) і мають однаковий напрямок, якщо при цьому напрямок не збігається, то вектори називаються протилежно спрямованими.
- сонаправлени. - протилежно спрямовані.
Визначення 5. Вектори і називаються рівними. якщо.
Визначення 6. Одиничний вектор, який має однаковий напрямок з вектором. називається ортом вектора і позначається.
Визначення 7. Вектор, що виходить з початку координат, називається радіус-вектором.
За допомогою паралельного перенесення вектори можна переміщати в будь-яке місце простору.
П.2 Лінійні дії над векторами.
А) Правило трикутника: + =.
В) Правило паралелограма: вектор направлений по діагоналі паралелограма, побудованого на векторах і.
С) Для складання трьох векторів в просторі існує правило паралелепіпеда: + + =.
4. Якщо + + =. то
Визначення 8. Протилежним вектором до вектору називається вектор. причому.
Відняти вектор, значить додати протилежний (за правилом паралелограма):
Або за правилом трикутника
вектори суми і різниці векторів спрямовані по діагоналях паралелограма, побудованого на векторах і.
Множення вектора на скаляр.
Визначення 9. Нехай # 955; - дійсне число, тоді твором числа # 955; на вектор називається вектор такий, що 1) 2). якщо і . якщо.
Множення вектора на число - це розтягнення або стиснення вектора зі збереженням або зі зміною на протилежне спрямування.
Властивості твори: 1. 2. 3. 4.
Визначення 10. Вектори, що лежать на одній або паралельних прямих, називаються колінеарними.
коллінеарен будь-якому вектору.
Теорема 1 (про необхідний і достатній умови коллинеарности векторів). Рівність. де # 955; - дійсне число, справедливо тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні, при цьому якщо. то. якщо. то. якщо # 955; = 0, то напрямок будь-яке.
Необхідність (). Нехай. тоді по визначенню 9 вектори і лежать на одній або паралельних прямих, збігаються або протилежні за напрямком. Тоді. За визначенням 10, вектори і колінеарні.
Достатність (). Нехай вектори і колінеарні, тоді по визначенню 10, вони розташовані на одній або паралельних прямих, при цьому вони збігаються або протилежні за напрямком. Такі вектори можна отримати, використовуючи визначення 9, тобто . де # 955; - дійсне число. (що й потрібно було довести)
Визначення 11. Вектори, що лежать в одній площині, називаються компланарними.