Цей термін має також інші значення див. Момент.
Момент інерції - скалярна (в загальному випадку - тензорних) фізична величина. міра інертності в обертальному русі навколо осі, подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності в поступальному русі. Характеризується розподілом мас у тілі: момент інерції дорівнює сумі творів елементарних мас на квадрат їх відстаней до базового безлічі (точки, прямої або площини).
Позначення: I або J.
Розрізняють декілька моментів інерції - в залежності від типу базового безлічі до якого відраховуються відстані від елементарних мас.
Осьової момент інерції
Осьові моменти інерції деяких тіл
Моментом інерції механічної системи відносно нерухомої осі ( «осьовий момент інерції») називається величина Ja. рівна сумі творів мас всіх n матеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до осі [1]:
Осьової момент інерції тіла Ja є мірою інертності тіла в обертальному русі навколо осі подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності в поступальному русі.
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V r ^ dm = \ int \ limits _ \ rho r ^ dV>,
dm = ρ dV - маса малого елемента об'єму тіла dV. ρ - щільність, r - відстань від елемента dV до осі a.
Якщо тіло однорідне, тобто його щільність усюди однакова, то
Теорема Гюйгенса - Штейнера
Момент інерції твердого тіла відносно будь-якої осі залежить від маси. форми і розмірів тіла, а також і від положення тіла по відношенню до цієї осі. Згідно з теоремою Гюйгенса - Штейнера, момент інерції тіла J щодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла Jc щодо осі, що проходить через центр мас тіла паралельно розглядається осі, і твори маси тіла m на квадрат відстані d між осями [1]:
де m - повна маса тіла.
Наприклад, момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його кінець, дорівнює:
Осьові моменти інерції деяких тіл
Моменти інерції однорідних тіл найпростішої форми щодо деяких осей обертання
Момент інерції відносно площини
Моментом інерції твердого тіла відносно деякої площини називають скалярну величину, яка дорівнює сумі творів маси кожної точки тіла на квадрат відстані від цієї точки до даної площини [9].
Якщо через довільну точку O провести координатні осі x. y. z. то моменти інерції щодо координатних площин x O y. y O z і z O x будуть виражатися формулами:
У разі суцільного тіла підсумовування замінюється інтегруванням.
Центральний момент інерції
Центральний момент інерції (момент інерції відносно точки O, момент інерції щодо полюса, полярний момент інерції) J O> - це величина, яка визначається виразом [9]:
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V r ^ dm = \ int \ limits _ \ rho r ^ dV>,
Центральний момент інерції можна виразити через головні осьові моменти інерції, а також через моменти інерції щодо площин [9]:
Момент інерції тіла відносно довільної осі, що проходить через центр мас і має напрямок, заданий одиничним вектором s → = ∥ s x. s y. s z ∥ T. | s → | = 1> = \ left \ Vert s_, s_, s_ \ right \ Vert ^, \ left \ vert> \ right \ vert = 1>. можна представити у вигляді квадратичної (билинейной) форми:
де J ^ >> - тензор інерції. Матриця тензора інерції симетрична, має розміри 3 × 3 і складається з компонент відцентрових моментів:
J ^ = ∥ J xx - J xy - J xz - J yx J yy - J yz - J zx - J zy J zz ∥> = \ left \ Vert J_J_-J _ \\ - J_J_-J _ \\ - J_ -J_J_ \ end> \ right \ Vert>. J x y = J y x. J x z = J z x. J z y = J y z. = J_, J_ = J_, J_ = J _,>
J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m. J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m. J zz = ∫ (m) (x 2 + y 2) dm = \ int \ limits _ (y ^ + z ^) dm, J _ = \ int \ limits _ (x ^ + z ^) dm, J _ = \ int \ limits _ (x ^ + y ^) dm>.
Вибором відповідної системи координат матриця тензора інерції може бути приведена до діагонального вигляду. Для цього потрібно вирішити задачу про власні значення для матриці тензора J ^ >>:
J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^;> _ => ^ \ cdot> \ cdot>;> J ^ d = ∥ JX 0 0 0 JY 0 0 0 JZ ∥> _ = \ left \ Vert J_00 \\ 0J_0 \\ 00J_ \ end> \ right \ Vert>,
де Q ^ >> - ортогональна матриця переходу в власний базис тензора інерції. У власному базисі координатні осі направлені уздовж головних осей тензора інерції, а також збігаються з головними півосями еліпсоїда тензора інерції. Величини J X. J Y. J Z, J_, J_> - головні моменти інерції. Вираз (1) у власній системі координат має вигляд:
звідки виходить рівняння еліпсоїда у власних координатах. Розділивши обидві частини рівняння на I s>
і зробивши заміни:
отримуємо канонічний вид рівняння еліпсоїда в координатах ξ η ζ:
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1 \ cdot J _ + \ eta ^ \ cdot J _ + \ zeta ^ \ cdot J_ = 1>
Відстань від центру еліпсоїда до деякої його точки пов'язаний із значенням моменту інерції тіла вздовж прямої, що проходить через центр еліпсоїда і цю точку:
- ↑ В правильності використання знака «+» в цій формулі можна переконатися, якщо порівняти моменти інерції полого товстостінного і суцільного циліндрів з однаковими масами. Дійсно, у першого з цих циліндрів маса в середньому зосереджена далі від осі, ніж у другого, тому і момент інерції цього циліндра повинен бути більше, ніж у суцільного. Саме таке співвідношення моментів інерції і забезпечує знак «+». З іншого боку, в межі при прагненні r1 до r2 формула для полого товстостінного циліндра повинна придбати той же вид, що і формула для полого тонкостінного циліндра. Очевидно, що такий перехід відбувається тільки при використанні формули зі знаком «+».