Для наближеного обчислення суми S сходиться ряду вважають. нехтуючи залишком. Щоб оцінити помилку, що допускається при цьому, потрібно оцінити залишок.
Абсолютна похибка при заміні суми ряду S його частковою сумою Sn дорівнює модулю залишку ряду.
Якщо потрібно знайти суму ряду з точністю до # 949;> 0. то треба взяти суму такого числа n перших членів ряду, щоб виконувалася нерівність.
Якщо дано два сходяться знакоположітельних ряду і. причому аn <вn . то ряд называется мажорирующим рядом по отношению к ряду .
Теорема 1. (Оцінка залишку знакоположітельного ряду).
Залишок мажорірующего ряду Rм завжди більше або дорівнює залишку основного
Теорема 2. Для сходиться знакоположітельного ряду, члени якого монотонно
зменшуються, починаючи з (n + 1) -го, справедлива наступна оцінка залишку
. де f (x) - ф-ція, яка використовується в інтегральному показнику Коші.
Теорема 3. (Оцінка залишку знакозмінного ряду).
Нехай дано абсолютно сходиться ряд. Тоді абсолютна величина його
n-го залишку Rn не перевищує n-го залишку ряду. складеного з
абсолютних величин членів цього ряду.
Теорема 4. (Оцінка залишку Знакозмінні ряду).
Якщо Знакозмінні ряд сходиться за ознакою Лейбніца, то його n-ий
залишок по абсолютній величині не перевищує першого з відкинутих
Приклад 1. Обчислити суму ряду з точністю до 0.1.
Рішення. Оцінимо залишок ряду по теоремі 2..
Якщо взяти перші 10 членів ряду, то залишок. (З точністю до 0.1).
Приклад 2. Обчислити суму ряду з точністю до 0.1.
Рішення. Розглянемо допоміжний ряд. який є мажорірующім для вихідного ряду. Це спадна геометрична прогресія зі знаменником q = 1/5, тому що сходиться. Отже по теоремі 1остаток вихідного ряду менше залишку допоміжного ряду:
Отже, потрібно взяти суму перших трьох членів ряду:
(З точністю до 0.002)
Приклад 3. Обчислити суму ряду з точністю до 0.01.
Рішення. Даний ряд сходиться за ознакою Лейбніца, тому.
При n = 1 отримуємо.
При n = 2 отримуємо.
При n = 3 отримуємо.
Отримаємо, що для обчислення суми ряду із заданою точністю достатньо взяти три перших члена ряду, похибка обчислення визначається четвертим членом. Отже