Нехай на площині (в просторі) задана декартова прямокутна система координат. Виберемо в просторі () декартовий прямокутний базис. . (.). Розглянемо наступні завдання.
ЗАВДАННЯ 1. Знайти координати вектора. якщо відомі декартові координати початку і кінця вектора.
Нехай точки і лежать в площині і мають координати. . Розглянемо вектори. і. маємо:
Аналогічно отримуємо, що якщо і. . то
ЗАВДАННЯ 2. Знайти довжину вектора, якщо відомі його координати в декартовом прямокутному базисі.
Нехай і. маємо:
Розглянемо трикутник. маємо:
Отже, за теоремою Піфагора,
Аналогічно отримуємо, що якщо і
ЗАВДАННЯ 3. Відомі координати вектора. Знайти координати його орта.
ВИЗНАЧЕННЯ. Ортом вектора називається вектор. сонаправленнимі з вектором і має одиничну довжину.
Нехай. Так як вектори і сонаправленнимі, то існує таке, що. отже
Таким чином, отримуємо:
Координати орта вектора мають дуже простий геометричний сенс. Позначимо через. і кути, які вектор утворює з координатними осями. і відповідно. . . називаються напрямними косинусами вектора. Висловимо напрямні косинуси вектора через його координати. маємо:
Таким чином, отримали, що координати орта вектора є його направляють косинусами.
Зауваження. Так як і. то
Це рівність називають основним тотожністю для напрямних косинусів вектора.
ЗАВДАННЯ 4. Відомі координати кінців відрізка. Знайти координати точки, яка ділить відрізок в заданому відношенні.
ВИЗНАЧЕННЯ. Кажуть, що точка ділить відрізок щодо якщо.
Якщо. то точка лежить між точками і. У цьому випадку говорять, що точка ділить відрізок у внутрішньому відношенні.
Якщо. то точка лежить на продовженні відрізка і кажуть, що точка ділить відрізок в зовнішньому відношенні.
Нехай. і. Позначимо через. . - радіус-вектори точок. і відповідно. тоді
або в координатній формі:
Зокрема, якщо - середина відрізка. то
тобто і формули (1) і (2) приймуть вигляд:
Зауваження. Якщо точка лежить між точками і. то зазвичай говорять, що ділить відрізок у відношенні. В цьому випадку . а формули (1) і (2) можна переписати у вигляді:
§9. нелінійні операції на безлічі
векторів