Напівнорма є окремим випадком сублінейной форми.
Напівнорма, для якої р (х) Про тягне х 0, називається нормою.
Напівнорма р, для якої з p (x) - Q слід х0, є нормою.
Напівнорма тісно-пов'язані з поняттям локальної опуклості. А саме, в локально опуклому просторі існує розділяє сімейство безперервних напівнорма. Назад, за допомогою будь-якого розділяє сімейства напівнорма на векторному просторі X можна визначити в X таку локально опуклу топологію, щодо якої всі напівнорма рб безперервні. Цей метод часто використовується для введення топології.
Напівнорма, для якої зі співвідношення р (х) 0 слід, що 0, є, очевидно, нормою.
Будь-яка напівнорма, вимірювана по Гроссу, неперервна.
Дві еквівалентні напівнорма визначають одну і ту ж топологію.
Прикладом напівнорма є норма.
Обчислюючи напівнорма, знаходимо, що сімейство (рг 0 е: 1 обмежена в S.
Безліч всіх напівнорма (норм) є конусом. Верхня межа будь-якого поточечно обмеженого зверху сімейства напівнорма є напівнорма.
Породжує набір напівнорма визначено, звичайно, неоднозначно. Наприклад, якщо напівнорма р належить деякому такому набору Q, то або напівнорма q (х) 2р (х) входить в Q, або не входить.
За допомогою напівнорма Nw покажемо тепер, що простір (Е, too) повно.
Два сімейства напівнорма ра і 7р називаються еквівалентними, якщо вони визначають одну і ту ж топологію.
Тоді для будь-якої неперервної напівнорма р на Е функція р про f вимірна.
Межа по напівнорма не єдина і тому виникає питання: чи не існує ще і неперервної функції, яка також є межею послідовності / в сенсі середнього квадратичного. Покажемо, що такої функції не існує.
З кожної напівнорма р пов'язано підпростір Кегр х р (х) 0 - її ядро.
Тоді р - напівнорма на ЕА (якщо Е віддільно, то норма), щодо якої простір ЕА повно.
Виявляється, що напівнорма на X-це в точності функціонали Міпковского всіляких врівноважених опуклих поглинаючих множин.
Так як кожна напівнорма полуаддітівна, то V VcU. Цим доведена безперервність складання.
Виявляється, що напівнорма на L - це в точності функціонали Маньківського всіляких врівноважених опуклих поглинаючих множин.
Будь-яка послідовність рп напівнорма еквівалентна послідовності напівнорма qn, розташованих по зростаючій тонкощі.
На основі понять напівнорма і заходи коректності в [6] введено поняття міри обумовленості нелінійного оператора, що дозволяє отримати оцінку відносної похибки при заміні точного рівняння наближеним рівнянням.
X фундаментальна по напівнорма ps (х) і pq (х), по одній з них сходиться до нуля, то по другий вона також сходиться до нуля), називається лічильно-нормованим.
Функції Sr є напівнорма на просторі 5 (Rn), яке буде простором Фреше щодо топології, яка визначається цими напівнорма. Простір (Rn) містить безліч 5 (R) функцій з C (Rn), що мають компактні носії.
Легко показати, що напівнорма Ц х е задовольняє всім умовам роботи Кудревич [3], необхідним для подальшого.
Властивість 2 норми (напівнорма) називається її однорідністю, а властивість 3 - нерівністю трикутника.
Неважко перевірити, що напівнорма задовольняє звичайному нерівності трикутника. З визначень (1), (2) слід також наступну узагальнену нерівність трикутника, що зв'язує міру коректності з напівнорма.
Локально опуклі топології і напівнорма. Наприклад, нехай задана околиця U.
Очевидно, що кожна напівнорма pi неперервна в заданій на Е топології.
Неважко вказати визначальне сімейство напівнорма для індуктивної топології в S) m (Q) при Про т - оо.
У термінах породжує набору напівнорма багато зрозуміла, що відносяться до ЛВП, набувають простий і наочний сенс.
Звичайно, різні сімейства напівнорма можуть задавати одну і ту ж топологію. Нормоване простір є окремим випадком локально опуклого простору.
Np більше не є напівнорма, однак (пор. Np служить полуметрікой, інваріантної щодо зрушень і визначальною топологію в J.
Отже, / мажоріруется напівнорма р на УІ.
На відміну від конечномерного випадку измеримая напівнорма на просторі з центрованої гауссовской мірою може збігатися майже всюди з ненульовий постійної.
Легко бачити, що сімейство напівнорма (peAf (F)) визначає на просторі - (F) локальну опуклу топологію.
Нехай d - розділяє сімейство напівнорма на X, замкнутий щодо взяття максимуму.
Якщо послідовність хп сходиться по напівнорма е X, то вона обмежена.
Безліч лінійних функціоналів, підпорядкованих фіксованою напівнорма р, є лінійним простором, причому р - норма в цьому просторі.
Функції Np і N є напівнорма на - р (1 р оо) і Г відповідно.
Нерівності (57.16) і (57.17) між різними напівнорма функції дозволяють встановити зв'язок між різними видами збіжність функцій.
Тоді ліва частина цього виразу є напівнорма на Л, яку, якщо Е сепарабельном, можна вважати певною і на факторпространством АЕ і индуцирующей в ньому норму.
У тому випадку, коли всі напівнорма звертаються в нуль одночасно лише на нульовому елементі простору У3, сімейство у / 4 Го називається лічильної мультінормой, а У3 - лічильно-мультінормірованним простором.
При цьому Гельдерен показник і гельдерова напівнорма залежать тільки від верхньої межі ліпшіцевой норми граничних даних і діаметра області.
Останній критерій справедливий не тільки для напівнорма, але і для; будь-яких невід'ємних сублінейних функціоналів.
Затвердження лежачи 24.1 справедливо в для напівнорма (24.17), Для того щоб переконатися в цьому, досить змінити мясш.
Будь-яка послідовність рп напівнорма еквівалентна послідовності напівнорма qn, розташованих по зростаючій тонкощі.
Топологія в а породжується рахунковим сімейством напівнорма ра т k% t p0, де Тр пробігає послідовність точок, які прагнуть до - оо.
Тим самим ми визначили на Lr напівнорма, яка не є нормою, бо / г 0 щоразу, коли f 0 майже скрізь.
Відзначимо, що в разі, коли напівнорма не є нормою навіть така проста функція як лінійна на скінченномірному лінійному полунормірованном просторі може виявитися не наскрізною. Розглянемо, наприклад, двовимірне арифметичне простір X векторів x (xt, xz) з напівнорма 11 1 ХГ. Нарешті, якщо у (у'z / 2) також є елементом з X, то x y (xi - - yi, х 'у), отже х УII X. Таким чином, всі властивості напівнорма виконані.