Напруженість гравітаційного поля - векторна фізична величина, що характеризує гравітаційне поле в даній точці і чисельно дорівнює відношенню гравітаційної сили \ (
\ Mathbf \), що діє на нерухому пробну частку, вміщену в дану точку поля, до гравітаційної масі \ (
M \) цієї частки: $$
Дане визначення зводить напруженість поля до гравітаційній силі, що діє на одиничну масу. Існує й інше визначення, коли напруженість поля знаходиться через просторові і тимчасові похідні від потенціалів гравітаційного поля або через компоненти тензора гравітаційного поля. [1]
Оскільки гравітаційне поле являє собою векторне поле. його напруженість \ (
\ Mathbf \) залежить від часу і координат тієї точки простору, де вимірюється напруженість поля: $$
Напруженість гравітаційного поля \ (
У загальній теорії відносності напруженість гравітаційного поля називається напруженістю гравітоелектріческого поля, а поле кручення відповідає гравітомагнітному полю. У межі слабкого гравітаційного поля зазначені величини входять в рівняння гравітоелектромагнетізма.
Напруженість гравітаційного поля в міжнародній системі одиниць вимірюється в метрах на секунду в квадраті [м / с 2] або в ньютонах на кілограм [Н / кг].
Напруженість гравітаційного поля в Лоренц-інваріантної теорії гравітації [ред]
Якщо записувати співвідношення Лоренц-інваріантної теорії гравітації (Літго) на мові 4-векторів і тензорів, то виявляється, що вектор напруженості гравітаційного поля і вектор поля кручення складають в сукупності тензор гравітаційного поля. входять в тензор енергії-імпульсу гравітаційного поля і в функцію Лагранжа для частинки в гравітаційному полі, а скалярний і векторний потенціали гравітаційного поля утворюють гравітаційний 4-потенціал. [2] Через \ (
\ Mathbf \) обчислюються також: вектор щільності потоку енергії гравітаційного поля або вектор Хевисайда \ (
\ Mathbf, \) щільність енергії гравітаційного поля \ (u, \) а також вектор щільності імпульсу гравітаційного поля \ (
Гравітаційна сила [ред]
Повна сила, з якою гравітаційне поле діє на пробну частку, виражається наступною формулою: $$
\ Mathbf = M \ left (\ mathbf + \ mathbf \ times \ mathbf \ right), $$
M \) - маса частинки, \ (
\ Mathbf \) - швидкість частинки, \ (
У цій формулі перший член сили пропорційний напруженості гравітаційного поля, а другий член сили залежить від швидкості руху частинки і від поля крутіння, що діє на частинку. При цьому передбачається, що \ (
\ Mathbf \) є усередненими за обсягом частки напруженістю і полем крутіння від зовнішнього гравітаційного поля, а полем від самої частинки можна знехтувати зважаючи на його малість.
Для розрахунку повної сили, що діє на протяжне тіло, в межах якого напруженість і крутіння гравітаційного поля змінюються в значних розмірах, здійснюють розбиття тіла на невеликі частини, підраховують для кожної частини свою силу і потім проводять векторне підсумовування всіх таких сил.
Щільність вектора сили \ (
\ Mathbf \), що розуміється як гравітаційна сила, діюча на одиницю рухомого обсягу, входить в пространственноподобную компоненту 4-вектора щільності гравітаційної сили (дивись 4-сила). У коваріантною теорії гравітації цей 4-вектор виражається так: $$
J ^ \ mu \) є 4-вектор щільності масового струму, \ (
Вираз для 4-вектора щільності гравітаційної сили в Лоренц-інваріантної теорії гравітації можна уявити через напруженість гравітаційного поля: $$
\ Mathbf \) - щільність струму маси, щільність гравітаційної сили виражається формулою \ (
\ Mathbf = \ gamma \ rho_0 (\ mathbf + \ mathbf \ times \ mathbf) = \ rho \ mathbf + \ mathbf \ times \ mathbf, \)
\ Rho_0 \) є щільність речовини в супутньої системі відліку.
З формули видно, що твір \ (
\ Mathbf \ cdot \ mathbf \) дорівнює потужності роботи, яку здійснюють гравітаційної силою в одиниці об'єму, причому поле кручення не входить в цей твір і не здійснює роботу над речовиною.
Рівняння Хевисайда [ред]
Лоренц-коваріантні рівняння гравітації в інерційних системах відліку можна знайти в роботах Олівера Хевісайда. [3] Вони являють собою чотири векторні диференціальні рівняння, в три з яких входить вектор напруженості гравітаційного поля: [1] $$
\ Nabla \ cdot \ mathbf = -4 \ pi G \ rho. $$ $$
\ Nabla \ cdot \ mathbf = 0. $$ $$
\ Mathbf = \ rho \ mathbf \) - щільність струму маси, \ (
\ Rho = \ gamma \ rho_0 \) - щільність рухається маси, \ (
\ Mathbf \) - швидкість руху потоку маси, що створює гравітаційне поле і крутіння.
Дані чотири рівняння повністю описують гравітаційне поле для тих випадків, коли полі не настільки велике, щоб впливати на поширення електромагнітних хвиль, на їх швидкість і частоту. У цих рівняннях джерелами гравітаційного поля є щільність речовини і масові струми, а формула для гравітаційної сили в свою чергу показує, як поле впливає на речовину.
Якщо ж гравітаційне поле значно по величині, то його вплив на електромагнітні процеси призводить до гравітаційного червоного зсуву, уповільнення часу, відхилення руху електромагнітних хвиль поблизу джерел гравітаційного поля, і до інших ефектів. Оскільки вимірювання часу і просторових відстаней здійснюються за допомогою електромагнітних хвиль, то в гравітаційному полі для спостерігача розміри тел можуть виявитися менше, а швидкість течії часу сповільнитися. Подібні ефекти враховуються шляхом введення метрики простору-часу, що залежить від координат і часу. Тому в разі сильного гравітаційного поля замість зазначених вище рівнянь використовуються більш загальні рівняння коваріантною теорії гравітації. або рівняння загальної теорії відносності. в яких присутня метричний тензор.
Якщо від першого рівняння Хевисайда взяти градієнт, а від четвертого рівняння приватну похідну по часу, то в результаті можна отримати неоднорідне хвильове рівняння для напруженості гравітаційного поля: $$
Повторюючи ті ж дії для другого і третього рівнянь, приходимо до хвилевого рівняння для поля кручення: $$
Наявність хвильових рівнянь говорить про те, що напруженість і крутіння гравітаційного поля в кожній точці можуть бути знайдені як суми (інтеграли) безлічі окремих простих хвиль, які роблять свій внесок в загальне поле, при цьому кожен внесок повинен бути підрахований з урахуванням запізнювання впливу джерел поля за рахунок обмеженості швидкості передачі гравітаційного впливу.
Третє рівняння Хевисайда призводить до можливості гравітаційної індукції. коли змінюється в часі поле кручення, що проходить через деякий контур, або зміна площі контуру при незмінному поле кручення, генерують кругову напруженість гравітаційного поля уздовж окружності цього контуру.
Потенціали гравітаційного поля [ред]
Напруженість гравітаційного поля виражається як через скалярний потенціал \ (
\ Psi \), так і через векторний потенціал \ (
\ Mathbf \) гравітаційного поля за формулою: $$
Поле крутіння залежить тільки від векторного потенціалу, оскільки: $$
\ Mathbf = \ nabla \ times \ mathbf. $$
Гравістатіка [ред]
Найбільш простим випадком для дослідження властивостей гравітації є випадок взаємодії нерухомих або рухомих з досить малою швидкістю тел. У гравістатіке нехтують векторних потенціалом \ (
\ Mathbf \) гравітаційного поля через відсутність або малості поступального або обертового руху мас, що створюють поле, оскільки \ (
\ Mathbf \) пропорційний швидкості руху мас. В результаті стає малим і поле кручення, що обчислюється як ротор від векторного потенціалу. У такому наближенні можна записати: $$
\ Mathbf = - \ nabla \ psi, $$ де \ (
\ Psi \) називається гравістатіческій потенціал, щоб підкреслити статичний випадок гравітаційного поля. У гравістатіке напруженість гравітаційного поля стає потенційним векторних полем, тобто полем, що залежать тільки від градієнта від деякої функції, в даному випадку від скалярного потенціалу.
За умови, що в даній фізичній системі немає масових струмів і тому \ (
\ Mathbf = 0, \) напруженість гравітаційного поля не залежить від часу, дорівнюють нулю векторний потенціал \ (
\ Mathbf = 0 \) і поле кручення \ (
\ Mathbf = 0, \) в рівняннях Хевисайда залишається одне рівняння: $$
\ Nabla \ cdot \ mathbf = -4 \ pi G \ rho_0. \ Qquad \ qquad (1) $$
Якщо в (1) використовувати співвідношення \ (
\ Mathbf = - \ nabla \ psi, \) то виходить рівняння, яке має форму рівняння Пуассона. $$
\ Delta \ psi = 4 \ pi G \ rho_0. $$
За межами тел щільність покоїться речовини дорівнює нулю, \ (
\ Rho_0 = 0, \) і рівняння для гравістатіческого потенціалу стає рівнянням Лапласа. $$
Рівняння Пуассона і Лапласа справедливі як для потенціалу точкового частинки, так і для суми потенціалів безлічі частинок, що призводить до можливості використовувати принцип суперпозиції для розрахунку сумарного потенціалу і напруженості загального гравітаційного поля в будь-якій точці системи. Однак в досить сильних полях з модернізованою теорії гравітації Лесажа слід, що принцип суперпозиції порушується через експоненційної залежності потоків Гравітон в речовині від пройденої відстані. [4]
Застосування формули Гаусса-Остроградського [ред]
Рівняння (1) можна проінтегрувати за довільним обсягом простору і потім застосувати формулу Гаусса-Остроградського. замінює інтеграл від дивергенції векторної функції по деякому об'єму на інтеграл потоку цієї векторної функції по замкнутій поверхні навколо даного обсягу: $$
\ Oint \ limits_S \ mathbf \ cdot d \ mathbf = - 4 \ pi G M, $$ де \ (
M \) є сумарна маса речовини всередині поверхні.
У багатьох випадках виявляється, що потік напруженості гравітаційного поля на поверхні залишається незмінною, що дозволяє винести напруженість поля \ (
\ Mathbf \) за знак інтеграла і потім інтегрувати тільки площа поверхні. Зокрема, площа сферичної поверхні \ (
S = 4 \ pi R ^ 2 \), і для напруженості поля на відстані \ (
R \) від центру сфери (і від центру тіла сферичної форми з власним радіусом, що не перевищує радіус поверхні \ (
Дана формула залишається справедливою незалежно від радіуса тіла сферичної форми, поки цей радіус не перевищує \ (
R \), тобто коли напруженість поля \ (
\ Gamma \) шукається за межами тіла. Для тіла маси \ (
M \) у вигляді матеріальної точки можна вважати, що відстань \ (
R \) відраховується від цієї точки.
У разі, коли формула Гаусса-Остроградського застосовується до сферичної поверхні всередині тіла зі сферично симетричним розташуванням маси, з формули випливає, що напруженість гравітаційного поля всередині тіла залежить тільки від маси тіла \ (
M (r), \) знаходиться всередині сферичної поверхні радіуса \ (
Для сфери з однорідною щільністю речовини маса \ (
M (r) = \ frac, \) що дає для напруженості поля: $$
У центрі сфери, де \ (
r = 0, \) напруженість поля дорівнює нулю, а при радіусі \ (
a \) є радіус сфери, напруженість досягає максимальної амплітуди.
Класична теорія тяжіння [ред]
Вираз для напруженості гравітаційного поля матеріальної точки можна отримати також із закону Ньютона для сили гравітації, що діє на частинку з масою \ (
m \). Якщо джерелом гравітаційного поля є однорідне тіло сферичної форми з гравітаційною масою \ (
R \) - радіус-вектор від центру тіла до точки в просторі, де визначається напруженість гравітаційного поля \ (
\ Gamma \), а знак мінус показує, що сила \ (
F \) і напруженість поля спрямовані проти напряму радіус-вектора \ (
У класичній теорії скалярний потенціал гравітаційного поля за межами тіла сферичної форми дорівнює: $$
\ Mathbf = - \ nabla \ psi, \) знаходимо напруженість гравітаційного поля в векторному вигляді: $$
Якщо вважати справедливим принцип еквівалентності. при якому гравітаційна маса пробної частинки дорівнює інертною масі цієї частки в другому законі Ньютона. то виходить наступне: $$ F = m g = \ frac \ Rightarrow g = \ frac = \ Gamma, $$ тобто напруженість гравітаційного поля чисельно (і по розмірності) дорівнює прискоренню вільного падіння \ (
g \) пробної частинки в цьому полі.