При описі об'єктів і явищ за допомогою нечітких множин використовується поняття нечіткої і лінгвістичної змінних.
Нечітка змінна характеризується трійкою <α, X, A>, де
α - ім'я змінної,
X - універсальна множина (область визначення α),
A - нечітка множина на X, що описує обмеження (тобто m A (x)) на значення нечіткої змінної α.
Лінгвістичної змінної називається набір <β,T,X,G,M>, де
β - ім'я лінгвістичної змінної;
Т - безліч його значень (терм-множина), що представляють імена нечітких змінних, областю визначення, яких є безліч X. Безліч T називається базовим терм-множиною лінгвістичної змінної;
G - синтаксична процедура, що дозволяє оперувати елементами терм-множини T, зокрема, генерувати нові терми (значення). Безліч T∩G (T), де G (T) - безліч згенерованих термів, називається розширеним терм-множиною лінгвістичної змінної;
М - семантична процедура, що дозволяє перетворити нове значення лінгвістичної змінної, утвореної процедурою G, в нечітку змінну, тобто сформувати відповідне нечітке безліч.
Щоб уникнути великої кількості символів:
символ β використовують як для назви самої змінної, так і для всіх його значень;
для позначення нечіткої множини і його назви користуються одним символом, наприклад, терм «молодий», є значенням лінгвістичної змінної β = «вік», і одночасно нечітким безліччю М ( «молодий»).
Присвоєння кількох значень символам передбачає, що контекст допускає невизначеності.
Нехай експерт визначає товщину виробу, за допомогою поняття «маленька товщина», «середня товщина» і «велика товщина», при цьому мінімальна товщина дорівнює 10 мм, а максимальна - 80 мм.
Формалізація цього опису може бути проведена за допомогою лінгвістичної змінної <β,T,X,G,M>, де
β - товщина вироби;
G - процедура утворення нових термів за допомогою зв'язок «і», «або» і модифікаторів типу «дуже», «не», «злегка» та ін. Наприклад, «маленька або середня товщина», «дуже маленька товщина» і ін. ;
М - процедура завдання на X = [10, 80] нечітких підмножин А1 = «маленька товщина», А2 = «середня товщина», А3 = «велика товщина», а також нечітких множин для термів з G (T) відповідно до правил трансляції нечітких зв'язок і модифікаторів «і», «або», «не», «дуже», «злегка».
Разом з розглянутими вище базовими значеннями лінгвістичної змінної «товщина» (Т =) існують значення, що залежать від області визначення Х. В даному випадку значення лінгвістичної змінної «товщина вироби» можуть бути визначені як «близько 20 мм», «близько 50 мм», «близько 70 мм», тобто у вигляді нечітких чисел.
Функції приналежності нечітких множин:
«Маленька товщина» = А1. «Середня товщина» = А2, «велика товщина» = А3.
нечітку множину «маленька або середня товщина» = А1∩А1.
Переваги нечітких систем
Коротко перерахуємо переваги fuzzy-систем в порівнянні з іншими: