Перевіримо коректність запису закону розподілу, для чого розглянемо суму всіх ймовірностей, що стоять у другому рядку таблиці. З Амет, що цей рядок містить елементи розкладання бінома Ньютона:
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини Х. розподіленою за біноміальним закону, відповідно рівні:. .
Закон розподілу Пуассона
Визначення. Дискретна випадкова величина Х має закон розподілу Пуассона з параметром. що символічно позначається як. якщо ймовірності того, що вона прийме значення 0,1,2. m, відповідно рівні:
Побудуємо ряд розподілу:
Перевіримо коректність запису закону розподілу, для чого розглянемо суму всіх ймовірностей, що стоять у другому рядку таблиці.
Зауважимо, що вираз являє собою розкладання в ряд функції при. тобто .
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини Х. розподіленої за законом Пуассона, відповідно рівні: M (X) = # 955 ;, D (X) = # 955 ;. Це явище характерне для розподілу Пуассона.
Визначення. Дискретна випадкова величина Х має геометричний розподіл. якщо ймовірність того, що вона прийме значення 1,2,3. (Рахункове безліч значень) відповідно дорівнює:.
Побудуємо ряд розподілу:
Перевіримо коректність запису закону розподілу, для чого розглянемо суму всіх ймовірностей, що стоять у другому рядку таблиці.
Зауважимо, що вираз являє собою суму членів геометричної прогресії (звідки і походить назва геометричного розподілу) з першим членом, рівним одиниці і знаменником q. Використовуючи відому формулу суми нескінченного числа членів геометричної прогресії, отримаємо:.
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини Х. розподіленої по геометричному закону, відповідно рівні:. .
Геометричний розподіл тісно пов'язане зі схемою випробувань Бернуллі, а, отже, з біноміальним розподілом. Відмінність полягає в тому, що Біноміальна випадкова величина визначає ймовірність m успіхів в n випробуваннях, а геометрична - ймовірність m випробувань до першого успіху (включаючи перший успіх).
Рівномірний закон розподілу
Визначення. Розподіл ймовірностей неперервної випадкової розміру Х на інтервалі [a, b] називається рівномірним. якщо щільність ймовірності f (х) постійна на цьому інтервалі і дорівнює нулю поза ним, тобто.
f (х) = C = const. якщо х Î [A, b],
f (х) = 0, якщо х Ï [A, b].
Щільність ймовірності має наступну властивість:. Підставляючи, отримаємо:
Функція розподілу F (X) може бути знайдена шляхом інтегрування щільності ймовірності:.
Показовий закон розподілу
Визначення. Показовий (експонентний) закон розподілу неперервної випадкової величини Х задається щільністю ймовірності:
середньоквадратичне відхилення:.
Характерна особливість цього розподілу - рівність математичного очікування середньому квадратичному відхиленню.
Нормальний закон розподілу (закон Гаусса)
Визначення. Нормальний закон розподілу (закон Гаусса) неперервної випадкової величини Х задається щільністю ймовірності.
а й s - параметри розподілу, які дорівнюють, відповідно, її математичного сподівання і середнього квадратичного відхилення, тобто М (Х) = = а. дисперсія.
Графік щільності нормального розподілу являє собою криву симетричну відносно прямої x = a з ординатою, максимальної в точці x = a. і рівною. Цей графік називається кривою Гаусса.
Функція розподілу має вигляд:
Ймовірність влучення випадкової величини в інтервал записується у вигляді:. де Ф (x) -функція Лапласа.
Функцією Лапласа Ф (x) називається інтеграл як функція верхньої межі інтегрування:
Властивості функції Лапласа:
1) Ф (x) непарна функція: Ф (- x) =-Ф (x)
Значення функції Лапласа Ф (x) наводяться в таблицях (додаток в кінці посібника). При користуванні таблицями необхідно мати на увазі, що при Ф (x) 0,5, при Ф (x) -0,5 (с точністю до 0,0001).
Розглянемо два розподілу, з якими ми зустрінемося в подальшому, при вивченні математичної статистики.
розподіл Пірсона # 967; 2 (хі-квадрат)
Визначення. розподілом # 967; 2 (хі квадрат) з n ступенями свободи називається розподіл суми квадратів n незалежних величин, кожна з яких розподілена по нормальному закону з параметрами MX = і DX =. т.е:.
Щільність ймовірності розподілу # 967; 2 визначається виразом:
де: - гамма-функція Ейлера (можна показати, що для цілих позитивних значень аргументу гамма-функція Ейлера приймає більш простий вигляд:).
Вільям Госсет (1876-1937) - англійський статистик, що писав під псевдонімом "Student" (стьюдент).
Визначення. Розподілом Стьюдента (або -розподіленого) називається розподіл випадкової величини.
де: Z - випадкова величина, розподілена за нормальним законом з параметрами MX = і DX =. # 967; 2 - незалежна від Z випадкова величина, що має розподіл # 967; 2 з n ступенями свободи.