Ноу Інти, лекція, аксіоматика теорії ймовірностей

  1. Події,, де, попарно несумісні, і їх об'єднання є. За аксіомі (P2),
Це можливо тільки в разі.
  • Покладемо при будь-якому. Події попарно несумісні, і по аксіомі (P2),
  • Подія одно об'єднанню двох несумісних подій. . Відповідно до властивості 2,.
  • Подія можна розкласти в об'єднання двох несумісних подій, причому. За властивостями 2 і 4 отримаємо
  • При нерівність випливає з властивості 6:

    Вправа. Доведіть властивість 7 і формулу (3.1) за допомогою математичної індукції.

    Наведемо приклад завдання, в якій використання формули включення-виключення - найпростіший шлях вирішення.

    Приклад 28. (завдання про розсіяною секретарці) Є листів і підписаних конвертів. Листи розкладаються в конверти навмання по одному. Знайти ймовірність того, що хоча б один лист потрапить в призначений йому конверт.

    Рішення. Нехай подія,, означає, що -е лист потрапив в свій конверт. тоді

    Події,, сумісні, тому використовуємо формулу (3.1). За класичним визначенням ймовірності обчислимо ймовірності всіх подій і їх перетинів. Елементарними наслідками будуть всілякі перестановки листів у конверти. Їх загальна кількість є. і події сприятливі! з них, а саме перестановки всіх листів, крім -го, що лежить в своєму конверті. Тому - одна і та ж для всіх. Так само

    Обчислимо кількість доданків в кожній сумі у формулі (3.1). Наприклад, сума по складається з доданків - рівно стільки трійок індексів можна утворити з номерів подій. Підставляючи всі ймовірності в формулу (3.1), отримуємо:

    Схожі статті