Перехід в іншу систему координат
Ми розглянули перетворення геометричних об'єктів, заданих в певній декартовій системі координат. Але в багатьох випадках зручно розглядати ті ж об'єкти в іншій системі координат, оскільки їх опис може стати більш простим. Найпростіший приклад - завдання координат паралелепіпеда: найпростіше це зробити в системі координат, суміщеної з однією з його вершин з осями, направленими вздовж ребер. У зв'язку з цим зупинимося на питанні, як зміняться координати точки при переході від однієї декартової системи координат до іншої.
Мал. 3.9. Дві системи координат в просторі
Нехай одиничні орти першої системи координат позначаються, а осі координат -. Введемо ще одну систему координат, поодинокі орт якої позначимо, а осі координат -. Ця система має свій початок координат і свої напрямки осей. Вважаємо, що в обох системах координат орти утворюють ліву трійку (рис. 3.9).
Спочатку розглянемо ситуацію, коли точка збігається з точкою. Вектори можна задати в першій системі координат, розклавши їх по векторах:
Якщо в першій системі крапка має координати, а в другій системі -, то, очевидно,
Помноживши скалярно це співвідношення на вектори, одержимо зв'язок між значеннями координат в різних системах:
Ці співвідношення можна записати в матричному вигляді