При обчисленні потенційної енергії будемо припускати, що деформації не тільки матеріалу, але і всієї конструкції, дотримуючись закону Гука, пропорційні навантаженням, т. Е. Лінійно з ними пов'язані і ростуть поступово разом з ними.
Відомо, що при статичному розтягуванні або стисненні стрижня силами Р величина роботи, а отже, і величина енергії U дорівнює:
У разі зсуву
Так само як і при крученні, може бути обчислена потенційна енергія при чистому вигині.
Кінцеві перетину балки під дією згинальних моментів (Рис.1) повернуться на кут, де - центральний кут зігнулася по дузі радіусом р осі балки.
Рис.1. Модель розрахунку потенційної енергії при чистому вигині.
так як із загальної теорії вигину а
З отриманих виразів випливає, що потенційна енергія деформації дорівнює половині твори сили або пари сил на переміщення по її напрямку того перетину, де ця сила прикладена. Домовимося називати терміном «узагальнена сила» будь-яку навантаження, що викликає відповідне навантаженні переміщення, т. Е. І зосереджену силу, і пару сил, і т. П .; переміщення ж, відповідне цій силі, будемо називати «узагальненої координатою».
«Відповідність» полягає в тому, що мова йде про переміщення того перетину, де прикладена розглянута сила, причому про таке переміщення. що твір його на цю силу дає нам величину роботи; для зосередженої сили це буде лінійне переміщення по напрямку дії сили - прогин, подовження; для пари сил - це кут повороту перетину у напрямку дії пари.
Інакше: потенційна енергія деформації чисельно дорівнює половині твори узагальненої сили на відповідну їй координату.
де Р -узагальнення сила, - узагальнена координата.
Отримані співвідношення також показують, що потенційна енергія є функцією другого ступеня від незалежних зовнішніх сил, так як в ці формули не входять реакції, що залежать від прикладених до елементу сил і пов'язані з ними рівняннями рівноваги. З тих же формул видно, що величина потенційної енергії деформації є функцією другого ступеня від «узагальнених координат» системи і цілком ними визначається. Таким чином, порядок прикладання навантажень в цьому відношенні байдужий, важлива лише остаточна форма деформованого елемента. Тому, хоча результати цього параграфа отримані в припущенні, що навантаження зростає статично, при збереженні рівноваги протягом всього процесу навантаження, проте виведені формули зберігають силу і при будь-якому способі прикладання навантажень, аби значення сил і деформацій були зв'язані лінійною залежністю і ставилися до того моменту, коли встановиться рівновагу конструкції.
Відомо також, що в загальному випадку вигину згинальний момент М (х) є величиною змінною. У будь-якому перетині йому буде супроводжувати поперечна сила Q (х). Тому розглядати слід уже, не всю балку в цілому, а лише нескінченно малий елемент балки довжиною dx.
Рис.2. Енергетична модель поперечного вигину
Під дією згинальних зусиль перерізу елемента (рис.2, а) повертаються і утворюють між собою кут (Рис.2, б). Дотичні ж зусилля прагнуть викликати (Рис.2, в) перекіс елемента; таким чином переміщення від нормальних напружень йдуть перпендикулярно до напрямку дотичних напружень, і навпаки.
Це дозволяє незалежно обчислювати роботу згинальних і дотичних зусиль.
Зазвичай робота дотичних зусиль виявляється малої в порівнянні з роботою нормальних, тому ми поки нею будемо нехтувати. Елементарна робота нормальних зусиль (як і в разі чистого вигину) дорівнює:
Рис.3. Розрахункова схема прикладу розрахунку потенційної енергії при поперечному вигині.
Вся потенційна енергія вигину вийде підсумовуванням по довжині балки
Знак межі інтегрування умовно вказує, що інтегрування повинно охопити всю балку; в тих випадках, коли для М (х) ми маємо кілька ділянок, то інтеграл доводиться розбивати на суму інтегралів.
Обчислимо потенційну енергію балки на двох опорах, навантаженої силою Р (Рис.3). Епюра моментів має дві ділянки; тому
Лекція № 33. Теорема Кастільяно.
Встановимо тепер метод визначення переміщень, заснований на обчисленні потенційної енергії деформації. Поставимо задачу знаходження переміщень точок пружної системи у напрямку дії прикладених до цієї системи зовнішніх сил.
Будемо вирішувати цю задачу в кілька прийомів; спочатку розглянемо більш простий випадок (Рис.1), коли на балку в перетинах 1, 2, 3. діють тільки зосереджені сили,). і т. д. Під дією цих сил балка прогнеться по кривій і залишиться в рівновазі.
Прогини перетинів 1, 2, 3. в яких прикладені сили,,. позначимо,,. і т. д. Знайдемо один з цих прогинів, наприклад - прогин перерізу, в якому прикладена сила.
Переведемо балку, не порушуючи рівноваги. з положення в суміжне положення, показане на фіг. 328 пунктиром. Це можна зробити різними прийомами: додати нову навантаження, збільшити вже докладені і т. Д.
Ми представимо собі, що для переходу до суміжного деформованому стану застосування сили зроблена нескінченно мала добавка (Рис.1); щоб при цьому переході не порушувати рівноваги, будемо вважати, що ця добавка прикладається статично, т. е. зростає від нуля до остаточного значення повільно і поступово.