Обчислення потенційної енергії
При дослідженні руху механічної системи з потенційними силами замість сил часто використовується потенційна енергія. Вона може бути обчислена шляхом інтегрування рівняння в повних диференціалах:
Однак простіше це зробити безпосередньо, обчислюючи роботу сили.
Для цього спочатку познайомимося з деякими новими поняттями. Нехай потенційна енергія сили, прикладеного до точки М. Вважаючи
отримуємо рівняння поверхні в просторі Oxyz, яка називається поверхнею рівня (рис. 46). Поверхня рівня має наступну властивість: при русі точки по поверхні рівня потенційна сила не робить роботи, так як для будь-яких двох точок, що належать цій поверхні, маємо.
Надаючи постійної З різних значень, -Отримайте сімейство поверхонь (рис. 47). Весь простір виявляється як би розшарованим поверхнями рівня. Виберемо одну з них за поверхню нульового рівня потенційної енергії і підрахуємо роботу, що здійснюються потенційної силою при переміщенні точки М з даного положення в будь-яку точку, що належить нульовий поверхні рівня (рис. 48).
З огляду на, що, отримуємо
Звідси випливає формула
Тим самим встановлюється наступне правило для обчислення потенційної енергії: щоб обчислити потенційну енергію в даному положенні точки, досить обчислити роботу, що здійснюються силою при переміщенні точки М з цього положення в будь-яку точку, що належить нульовий поверхні рівня потенційної енергії (див. Рис. 48 ).
Приклад 1. Для математичного маятника (рис. 49) поверхнями рівня служать горизонтальні прямі і т. Д. Будь-яка з них може бути прийнята за лінію нульового рівня потенційної енергії. Приймемо в якості такої горизонталь, що проходить через точку підвісу О. Тоді для потенційної енергії маятника отримуємо
Якщо за початок відліку П прийняти горизонталь, що проходить через положення рівноваги маятника (точку), потенційна енергія буде мати вираз
Приклад 2. Пружинний маятник складається з маси М, прикріпленою до нерухомої стінки за допомогою пружини жорсткості с, що має натуральну довжину а (рис. 50).
Поверхнями рівня в даному випадку є точки осі. Прийнявши за початок відліку потенційної енергії її значення в положенні рівноваги для потенційної енергії маятника в даному положенні, визначеному координатою, матимемо
Якщо за нульовий рівень прийняти значення потенційної енергії в деякій точці з координатою, то буде дорівнює роботі пружної сили пружини при переході тіла з положення М в положення. При обчисленні цієї роботи зручно скористатися властивістю незалежності роботи потенційної сили від форми шляху і перехід здійснити так: спочатку з положення М перейти в початок координат, далі з початку координат - в положення (див. Рис. 50). У кожному із зазначених переходів одне з крайніх положень відповідає недеформованою пружині, і робота може бути обчислена за формулою. На ділянці МО пружина розвантажується, при цьому відбувається позитивна робота. При переході пружина навантажується, і робота пружної сили негативна:. В результаті для потенційної енергії отримуємо
На матеріальну точку можуть діяти кілька сил, що володіють потенціалом. Тоді можна говорити також про потенційної енергії матеріальної точки, розуміючи під нею суму потенційних енергій, відповідних кожній силі. Поняття потенційної енергії природним чином узагальнюється і на випадок механічної системи, де приймає сенс суми потенційних енергій всіх потенційних сил, що діють на систему.
При цьому потенційна енергія в загальному випадку буде залежати від координат точок системи:
Приклад 3. Обчислити потенційну енергію системи, що складається з повзуна і прикріпленого до нього математичного маятника (рис. 51). Маса повзуна -, маса маятника -, жорсткість пружини.
Виберемо систему координат, як показано на рис. 51. Ось у проходить через точку підвісу маятника А в положенні рівноваги системи. Обчислюємо потенційну енергію сил тяжкості, прийнявши за нульовий рівень потенційної енергії вісь:
Для потенційної енергії пружини, яку відраховуємо від значення при недеформованою пружині, матимемо
Потенційна енергія всієї системи визначається виразом