Тема. середні величини
1. Поняття середньої величини.
2. Середня арифметична і її властивості.
3. Обчислення середньої за даними інтервального варіаційного ряду.
4. Середня гармонійна. Критерій вибору форми середньої.
5. Структурні середні.
Поняття середньої величини
В процесі обробки та узагальнення статистичних даних виникає необхідність визначення середніх величин. Середня величина (слайд) - узагальнююча характеристика досліджуваного ознаки в досліджуваній сукупності, що відображає його типовий рівень у розрахунку на одиницю сукупності в конкретних умовах місця і часу. Середня, розрахована за сукупністю в цілому, називається загальною середньою. Середні, обчислені для кожної групи, - груповими середніми. Загальна середня відображає загальні риси досліджуваного явища, групова середня дає характеристику розміру явища, що складається в конкретних умовах даної групи.
Ознака, для якого обчислюється середня величина, називається варьирующим (осередненою). Одиниці варьирующего ознаки, кожна з яких має певне числове вираження, називаються варіантами (слайд), і позначається. Середня позначається через. Такий спосіб позначення вказує на походження середньої з конкретних величин, риса зверху символізує процес усереднення індивідуальних значень. Число одиниць -. Показники частоти, повторюваності варіант називають вагами і позначають.
Статечні середні в залежності від представлення вихідних даних можуть бути простими і зваженими.
Проста статечна середня має наступний вигляд:
Зважена статечна середня має загальний вигляд:
Зі зміною показника ступеня до приходимо до певного виду середньої:
при - середня гармонійна;
при - середня геометрична;
при - середня арифметична;
при - середня квадратична;
при - середня кубічна.
Якщо розраховувати всі види середніх для одних і тих же даних, то їх значення виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня збільшується і відповідна середня величина:
2. Середня арифметична і її властивості
Найбільш поширеним видом середніх величин є середня арифметична, яка, як і всі середні, в залежності від характеру наявних даних може бути простою або зваженої.
Проста середня арифметична обчислюється в тих випадках, коли кожна з варіант зустрічається в досліджуваному явищі один або однакове число раз, а так само якщо дані не згруповані.
Формула простої середньої арифметичної має наступний вигляд:
Середня арифметична зважена обчислюється в тих випадках, коли різні варіанти зустрічаються в досліджуваної сукупності неоднакове число разів:
Властивості середньої арифметичної:
Властивість 1. Середня арифметична постійної величини дорівнює їй самій:
Властивість 2. Твір середньої на суму частот дорівнює сумі твори окремих варіантів на відповідні їм частоти:
Властивість 3 (нульове). Сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної дорівнює 0:
Властивість 4 (мінімальне). Сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної є число мінімальне:
Що означає: Сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки кожної одиниці сукупності від середньої арифметичної завжди менше суми квадратів відхилень варіантів ознаки від будь-якого значення (А), як завгодно мало відрізняється від середньої у обраної одиниці досліджуваної сукупності:
Властивість 5. Якщо значення ознаки кожної одиниці сукупності (всі усереднюються варіанти) зменшити або збільшить на постійне число А. то середня арифметична відповідно зменшиться або збільшиться на тугіше величину А:
Властивість 6. Якщо значення ознаки кожної одиниці сукупності розділити або помножити на постійне число А. то середня арифметична відповідно зменшиться або збільшиться в А раз:
Властивість 7. Якщо вага (частоту) кожного значення ознаки розділити або помножити на постійне число А, то середня арифметична не зміниться:
Обчислення середньої за даними інтервального варіаційного ряду
В інтервальних варіаційних рядах значення варіантів наводиться у вигляді інтервалу від-до. В цьому випадку для кожної групи знаходиться середнє значення інтервалу (середина), як полусумма його верхньої і нижньої меж.
Якщо в розглянутому ряду є інтервали з відкритими кордонами, то для знаходження їх середини орієнтуються на ширину суміжного інтервалу.
Приклад (слайд). Є такі дані.
Таблиця 1 - Розподіл фактичної трудомісткості обробки деталей
Трудомісткість обробки деталі, хв
Викладені вище властивості середньої арифметичної дозволяють у багатьох випадках спростити її розрахунки: можна з усіх значень ознаки відняти довільну постійну величину, різниця скоротити на загальний множник, а потім обчислену середню помножити на загальний множник і додати довільну постійну величину.
Формула середньої арифметичної зваженої отримає наступний вигляд:,
де - умовний момент першого порядку;
- довільна постійна величина, в якості якої береться середина центрального інтервалу, якщо число інтервалів непарне або середина інтервалу, що володіє найбільшою частотою, якщо число інтервалів парне;
- варіанти (середини інтервалів);
Спосіб обчислення середньої називають способом моментів або способом відліку від умовного нуля.
Таблиця 3 - Розрахунок середньої методом моментів
Трудомісткість обробки деталі, хв
Середина інтервалу (варіанти),