Області стійкості систем автоматичного управління.
При проектуванні систем автоматичного управління порівняно часто потрібно визначити вплив будь-яких змінних параметрів на стійкість. В цьому випадку будують область стійкості системи в просторі цих змінних параметрів.
Мал. 5.8. Крива Михайлова наприклад 5.2
Мал. 5.9. Область стійкості наприклад 5.2
Область стійкості визначається сукупністю значень параметрів системи, при яких система стійка. Весь простір поза області стійкості називається областю нестійкості. Точки її відповідають значенням параметрів, при яких система нестійка. Якщо система в просторі всіх своїх параметрів не має області стійкості, то подібна система автоматичного управління називається структурно нестійкою. Щоб зробити структурно нестійку систему стійкою, необхідно змінити її структуру, зробити ж її стійкою тільки за рахунок зміни параметрів неможливо. Якщо число змінних параметрів САУ одно то в загальному випадку побудова областей стійкості ведеться в вимірному просторі. Однак для вирішення практичних завдань зазвичай не перевищує трьох. Так, у разі двох змінних параметрів (А і В) область стійкості зображується на площині цих параметрів (рис. 5.9). На малюнку лінією зображена межа стійкості, що відокремлює область стійких систем від нестійких. Уздовж кордону стійкості наноситься штрихування, яка звернена в бік області стійкості. Область стійкості може бути як замкнутої, так і незамкненою.
При трьох варійованих параметрах (А, В і С) побудова області стійкості ведеться в тривимірному просторі, по координатним осях відкладаються варійовані параметри. Кордон стійкості при цьому є тривимірною поверхню. При практичних розрахунках ця поверхня перетворюється в гіперплоскость
шляхом перетину її площинами при фіксованих значеннях одного з трьох параметрів.
Побудова кордону стійкості здійснюється за допомогою критеріїв стійкості.
Критерій Михайлова широко застосовується для побудови областей стійкості в площині двох змінних параметрів А і якщо вони входять в коефіцієнти характеристичного рівняння системи лінійно або у вигляді твору коливальних кордоні стійкості відповідає проходження кривої Михайлова через початок координат, т. Е. А Ця вимога може бути задоволена певним вибором значень параметрів А і В. рівняння кривої Михайлова при цьому розпадається на два рівняння:
причому тут зі дає значення чисто мнимого кореня, т. е. частоту незатухаючих коливань системи. Вирази (5.25) є параметричними рівняннями кордону стійкості. Слід зауважити, що такий підхід до виділення областей стійкості був запропонований в 1940 р А. А. Соколовим і потім в 1948 р Ю. І. Неймарком і названий методом -разбіенія. Область стійкості визначається правилом штрихування, яке полягає в тому, що при збільшенні штрихування наноситься з лівого боку, якщо визначник
і штрихування наноситься праворуч, якщо цей визначник від'ємний. При цьому штрихування звернена всередину області стійкості.
Як приклад розглянемо виділення області стійкості в площині двох варійованих параметрів для системи стабілізації руху балістичної ракети (див. Рис. 5.7).
Рівняння, що визначають колебательную кордон стійкості, мають вигляд
Змінюючи від 0 до будуємо за отриманими рівняннями в площині А, В кордон -разбіенія (див. Рис. 5.9). Рівняння, що визначає аперіодичну кордон стійкості, знаходиться шляхом
прирівнювання нулю вільного члена характеристичного рівняння, т. е.
Для виявлення напрямки штрихування знайдемо знак визначника:
Так як визначник від'ємний, то штрихування наноситься з правого боку при збільшенні від 0 до (див. Рис. 5.9). Отримана область стійкості є замкнутою.