Олімпіадні завдання з математики. 7 клас. Рішення.
ве машини їдуть по трасі швидкістю 80 км / год і з інтервалом 10 м. У знака обмеження швидкості машини миттєво знижують швидкість до 60 км / ч. З яким інтервалом вони будуть рухатися після знака обмеження?
Вказівка. Нехай v (м / год) - швидкість машин до знака, u (м / год) - швидкість машин після знака. Друга машина проїде знак пізніше першої на 10 / v (годину). За цей час перша машина проїде 10u / v (метрів) = 106/8 = 7.5 метрів. Цей інтервал і буде зберігатися після знака.
Касир продав усі квитки в перший ряд кінотеатру, причому помилково на одне з місць було продано два квитки. Сума номерів місць на всіх цих квитках дорівнює 857. На яке місце продано два квитки?
Відповідь. на тридцять сьоме місце.
Скільки місць могло бути в першому ряду. По-перше, їх не більше 40, так як сума натуральних чисел від 1 до 41 дорівнює 861. По-друге, їх не менше 40, так як сума натуральних чисел від 1 до 39 дорівнює 780, і навіть після додавання до неї 39, результат буде менше 857. Значить в першому ряду рівно 40 місць. Тепер нескладно визначити, на яке місце був проданий зайвий квиток: 1 + ... + 40 = 820; 857 - 820 = 37.
Кожен з трьох приятелів або завжди говорить правду, або завжди бреше. Їм було поставлено питання: «Чи є хоча б один брехун серед двох інших?» Перший відповів: «Ні», другий відповів: «Так». Що відповів третій?
Так як перший і другий приятелі дали різні відповіді, то один з них - брехун, а інший - лицар. Крім того, лицар не міг відповісти «Ні» на запропонований йому питання, так як в цьому випадку він би сказав неправду (серед двох, що залишилися точно є брехун). Отже, перший - брехун. Він збрехав, значить серед двох, що залишилися повинен бути брехун, і їм може бути тільки третій приятель. Значить третій відповів «Ні».
Чи існує 10-кутник, який можна розрізати на 5 трикутників?
Вася і Митя грають в «морський бій» на поле розміром 8 8 по наступним правилам. Митя розставляє 16 одноклітинних кораблів так, щоб вони не стикалися (навіть кутами). Кожним ходом Вася називає одну з кліток поля і, якщо на цій клітці стоїть корабель, то корабель вважається знищеним. Доведіть, що незалежно від розстановки кораблів Вася за 4 ходи зможе знищити хоча б один корабель.
Разрежем поле для гри на 16 квадратів розміром 2 2. Зауважимо, що в кожному такому квадраті не може стояти більше одного корабля (інакше кораблі будуть стикатися). Так як все кораблів 16, то в кожному квадраті повинен стояти корабель. Таким чином, Васі досить повністю «розстріляти» один з цих квадратів.
На кожному кілометрі між селами Мар'їно і Рощино стоїть стовп з табличкою, на одній стороні якої написано відстань до Мар'їно, на інший - відстань до Рощино. Зупиняючись біля кожного стовпа, Бобик зауважив, що якщо скласти всі цифри, записані на обох сторонах таблички, то вийде 13. Знайдіть відстань між селами.
Відповідь. 49 кілометрів.
Відстань між селами не може бути більше, ніж 49 кілометрів, так як тоді на одному зі стовпів буде написано з одного боку 49, а з іншого - не 0, тобто, сума цифр буде більше 13. На перших дев'яти стовпах з одного боку записані однозначні числа від 1 до 9, тому числа, записані з іншого боку, також повинні бути з одного десятка (щоб суми цифр були однакові). Отже, шукане відстань виражається числом, що закінчується на 9. Числа 9, 19, 29 і 39 рішеннями не є, так як на першому стовпі сума цифр не буде дорівнює 13. Таким чином, шукане відстань дорівнює 49 кілометрам.
По колу стоять вісім козлів різного зросту. Будь-який з них вміє перестрибувати через двох сусідніх козлів проти годинникової стрілки.
Доведіть, що при будь-якому початковому розташуванні козлів вони зможуть встати по зростанню.
На малюнку
показано, яким чином будь-який козел (чорний) зможе дострибати до будь-якого місця, тобто, встати за будь-яким (білим), заздалегідь обраним. У цей час інші козли стоять на своїх місцях. Тому, спочатку другий по зростанню козел постане за найвищим, після чого за ним постане наступний по зростанню, і так далі.
Така операція можлива тому, що числа 2 і 7 - взаємно прості.