метод бисекции
Існує досить очевидна теорема: «Якщо безперервна функція на кінцях деякого інтервалу має значення різних знаків, то всередині цього інтервалу у неї є корінь (як мінімум, один, але може бути і декілька)». На базі цієї теореми побудовано кілька методів чисельного знаходження наближеного значення кореня функції. Узагальнено всі ці методи називаються методами дихотомії, т. Е. Методами ділення відрізка на дві частини (необов'язково рівні).
Тут уже були розглянуті Метод хорд і Метод січних. тепер дійшла черга і до самого простого методу дихотомії, званого методом бисекции, або шляхом розподілу відрізка навпіл. Як випливає з назви, саме в цьому методі відрізок ділиться кожен раз на дві рівні частини. Середина відрізка вважається таким наближенням значення кореня. Обчислюється значення функції в цій точці, і, якщо критерій зупинки не досягнуть, вибирається новий інтервал. Інтервал вибирається таким чином, щоб на його кінцях значення функції як і раніше мали різний знак, тобто щоб він як і раніше містив корінь. Такий підхід забезпечує гарантовану збіжність методу незалежно від складності функції - і це вельми важлива властивість. Недоліком методу є те ж саме - метод ніколи не зійдеться швидше, т. Е. Збіжність методу завжди дорівнює збіжності в найгіршому випадку.
Ітераційна формула проста:
x_ = \ fracn + x>
Метод бисекции є двухшаговим, тобто нове наближення визначається двома попередніми ітераціями. Тому необхідно задавати два початкових наближення кореня.
Метод вимагає, щоб початкові точки були обрані по різні боки від кореня (тобто корінь містився в обраному інтервалі).
Як критерій зупинки беруть один з наступних:
f (x_k)<\epsilon — значение функции на данной итерации стало меньше заданого ε.
\ Left | xk-x \ right | <\epsilon — изменение хk в результате итерации стало меньше заданого ε. Поскольку интервал на каждом шаге уменьшается в два раза, вместо проверки x можно рассчитать количество требуемых итераций.
Схожі калькулятори:
Увійти через Facebook Увійти через Vk увійти через Twitter Увійти через PlanetCalc