Гіпотеза де Бройля стверджує існування хвильових властивостей у частинок. Досліди по дифракції підтверджують, якщо є хвильові властивості у об'єкта, то повинна бути хвильова функція відображають ці властивості. Це функція, якої Борн дав статистичне тлумачення. З формули довжини хвилі де Бройля слід, що імпульс і координата не можуть бути одночасно характеристиками стані частки, але імпульс і координата, це ті характеристики, які дозволяють в класичній механіці визначити траєкторію рух частинки, тобто визначити положення частинки в будь-який заданий момент часу. Якщо імпульс і координата, не є одночасно характеристиками стану, то траєкторію частинки побудувати не можна, до такої частки поняття траєкторія взагалі не може бути застосована. У квантовій механіці не мають сенсу говорити про траєкторію, як про лінію по якій рухається частка, тому рівняння класичної механіки не може бути застосована в квантовій механіці, кажуть тільки про ймовірність виявлення частки в тому чи в іншому місці заданому момент часу. крім того в багатьох випадках фізичної величини не можуть приймати будь-які значення сукупність їх можливих значеннях (спектр) часто дискретний, а це означає не застосовність операції інтегрування і диференціювання. З усього цього випливає, що математичний апарат квантової механіки відрізняється від математичного апарату класичної фізики, її математичний апарат оператори обчислення. У квантовій механіці дії виконуються з операторами фізичних величин, а не самими фізичними величинами.
Оператор-це будь-який математичне дію перетворюючу деякуфункцію в іншу функцію що відносяться до того ж класу. Найпростішими операторами є складання, множення, диференціювання, інтегрування. Оператори позначаються -тітло. -оператор. -оператор координати. -оператор складових імпульсу.
У оператора може бути така функція яку він діючи на нього не змінює або в результаті дії оператора виходить та сама функція, може бути помножена на якесь число, така функція яка не змінюється при дії оператора називається власної цього оператора, а число на яке вона може бути помножена (вона може бути = 1) називається власним значенням даного оператора.
У одного оператора може бути кілька власних функції зі своїми власними значеннями. Крім того можливо, що одному власному значенню відповідає тільки одна власна функція (стан не вироджені), а може бути одному власному значенню відповідає кілька функції (стан вироджене).
Оператори можна складати:
Оператори можна множити:
Застосування оператора починається справа. Твір операторів в загальному випадку не володіють властивістю коммутітатівності.
Тобто результат наступних дій деяких операторів з творів залежить від черговості їх прімененія.Но можуть бути такі пари операторів, які властивості комунікативності задовольняють тобто результат їх дії не залежить від черговості їх застосування. Такі оператори називаються коммутирующими. комутатори Важливо, що комутація або НЕ комутація операторів фізичних величин пов'язано з можливістю одночасного визначення відповідних величин, тобто пов'язане співвідношенням невизначеності. [20,21]
Серед операторів виділяють лінійні оператори, такі оператори задовольняють умови. Лінійні оператори мають особливі значення в квантовій фізиці, механіці тобто відповідні їм власні функції задовольняють принципом суперпозиції, тобто принципом якого задовольняє хвильова функція. Серед операторів виділяють самосопряженних або ермітовим оператори. дві функції задовольняють природним умовам, тобто тим яким задовольняє хвильова функція однозначність, диференційованість, рівність нулю на нескінченності, квадратичні інтегрованість і інші, то оператор називається самосопряженних, якщо інтегрування по всьому простору.
сполучення, тобто заміна ермітовим оператори мають. У квантовій механіці застосовуються тільки ермітовим оператори, тому що у них власне значення дія не уявне.