У дискретних системах здійснюється перетворення інформації, заданої у вигляді дискретних процесів, квантованих за часом або за часом і рівнем одночасно. Введемо спеціальні позначення для цих процесів. Вихідні безперервні процеси, з яких виходять дискретні, називаються огинають і позначаються звичайними символами, наприклад x (t).
Відповідні їм дискретні процеси з квантуванням за часом (рис. 1.2, а) і постійним періодом Tn. позначають через x (iTn), маючи на увазі, що i може бути будь-яким цілим числом. Щоб отримати дискретний процес, квантований за часом, за заданою обвідної досить в функції x (t) покласти значення t = iTn. тобто
Дискретний процес, квантований за часом з постійним періодом Tn і за рівнем з постійним кроком # 916 ;, будемо позначати символом х (iTn) (рис. 1.2, б). Отримати його по заданій функції обвідної можна за формулою
де F позначає операцію знаходження найближчого до значення х (iТn) числа з кроком квантування за рівнем # 916 ;. Операція F є нелінійної, тому цифрові системи з квантуванням процесів за часом і рівнем відносяться до класу нелінійних. Їх особливості ми будемо розглядати окремо в подальшому, а зараз зупинимося на лінійних дискретних системах з процесами х (iТn), квантовими за часом.
Мал. 1.3. Зображення дискретної системи
Мал. 1.4. Неоднозначність дискретної функції
Робота дискретної системи зводиться до перетворення вхідних процесів x (iTn) у вихідні у (iТn) з деякими заданими умовами. Схематично це відображено на рис. 1.3. За характером бажаного перетворення дискретні системи підрозділяються на ті ж класи, що і безперервні, тобто на стежать, стабілізуючі, що інтегрують і ін. Проте можливості перетворення процесів в них мають свої характерні особливості, які ми і розглянемо. Головною особливістю дискретних процесів x (iTn) є їх неоднозначність. Полягає вона в тому, що одним і тим же дискретним процесам може відповідати безліч різних огинають. Для прикладу на рис. 1.4 показані дві функції x1 (t) і x2 (t), яким відповідає один і той же процес х (iТn). Неоднозначність дискретних функцій, зокрема вихідного процесу у (iТn) системи (рис. 1.3), може привести до неправильних висновків за результатами роботи системи, тому попередньо повинні бути вивчені ті умови, при яких виникає неоднозначність була б зведена до мінімуму. Виникнення неоднозначності є наслідком втрати інформації на інтервалах між моментами квантування. Розглянемо докладніше, як це відбувається. Нехай квантованию з періодом Tn і частотою
піддається гармонійний процес х (t) = a cos # 969; t.
Знайдемо залежність між частотою вихідного процесу і частотою обвідної # 969; 0 квантованного процесу х (iTn). Спочатку покладемо, що частота # 969; <<Ω. Квантованный сигнал для этого случая показан на рис. 1.5, а. Так как в полупериод исходного процесса x(t) укладывается большое число дискретных значений x(iTn ), то по ним наблюдателю легко получить значение частоты огибающей, которая будет совпадать с частотой исходного процесса. Таким образом, при малой частоте неоднозначности в ее оценке по дискретным данным не будет. Если построить зависимость ω0 от ω (рис. 1.6), то при ω <<Ω она будет линейной.
Мал. 1.5. Квантування гармонійного сигналу
Мал. 1.6. стробоскопічний ефект
Граничним випадком для правильної оцінки частоти # 969; буде той, коли на кожному напівперіод виявиться одне значення x (iTn). Цей випадок зображений на рис. 1.5, б, і він відповідає частоті
при # 969;> на кожен напівперіод припадатиме менше одного значення x (iTn), що призведе до неоднозначності у визначенні # 969 ;. Так, якщо взяти # 969; = # 937 ;, то частота обвідної вихідного процесу, як це видно з рис. 1.5, в, буде дорівнює # 969; 0 = 0, це і показано на рис. 1.6.
при # 969; = 3 # 937; / 2 (рис. 1.5, г) ми отримаємо дискретний процес, що співпадає з x (iTn) при # 969; = (Рис. 1.5, б). Подібні міркування можна продовжити і показати, що оцінка частоти # 969; вихідного процесу по частоті обвідної # 969; 0 дискретного процесу буде неоднозначною. Графік цієї залежності зображений на рис. 1.6. Однозначність зберігається лише в діапазоні
Описане властивість називається стробоскопічним ефектом і є найважливішою особливістю дискретних систем. З нього випливає важливий для практики створення дискретних систем висновок: щоб дискретна система була працездатною і її вихідні дані мали однозначну інтерпретацію, частоту квантування слід вибирати з умови # 937;> 2 # 969; гр. де # 969; гр - максимальна частота спектра вхідного повідомлення. Вперше ця умова в ширшій постановці у вигляді теореми було отримано в 1933 році академіком В. А. Котельниковим. Теорема Котельникова встановлює мінімальну допустиме значення частоти квантування # 937; або максимальний період дискретності Tn. забезпечують перетворення інформації без великих втрат при квантуванні за часом.