Знаходження останньої цифри в запису ступеня натурального числа.
Після вивчення теми "Ступінь з натуральним показником" була запропонована така задача: знайти останню цифру ступенів:
Ми помітили, що в першому випадку показники ступенів складові числа. а в другому випадку показники ступенів прості числа. В обох випадках є підстави парні і непарні. Ми спочатку спробували уявити переважно у вигляді твору ступенів з тим же підставою і однаковими показниками, потім скористалися з властивостями ступенів з натуральними показниками
Остання цифра ступеня.
Наведемо невелике дослідження: з'ясуємо чи є якась закономірність в тому, як змінюється остання цифра числа 2 n. де n - натуральне число, зі зміною показника n. Для цього розглянемо таблицю:
Ми бачимо, що через кожні чотири кроки остання цифра повторюється. Помітивши це, неважко визначити останню цифру ступеня 2 n для будь-якого показника n.
Справді, візьмемо число 2 100. Якби ми продовжили таблицю, то воно потрапило б в стовпець, де знаходяться ступеня 2 4. 2 8. 2 12. показники яких кратні чотирьом. Значить, число 2 100. як і ці міри, закінчується цифрою 6.
Візьмемо до прикладу, 2 22. Якщо поштова просто порахувавши, то вийде 4194304 - остання цифра 4.
Тепер спробуємо користуватися таблицею, але в таблиці 4 числа, а показник ступеня 22, проте, після останнього числа цей «коло» починається заново. Тому, показник ступеня 22 ділимо на 4, отримуємо число 5 і залишок 2 тобто ми зробимо 5 «кіл», і відлічимо ще 2 в перед, а друге число - це 4, значить, таблиця працює.
А тепер подивимося, чи можна скласти таблиці для інших чисел. Все описувати не буду, лише скажу, що у мене вийшло скласти таблицю для всіх чисел від 1 до 10, а далі буде повторюватися, припустимо, у 12 останні числа будуть такі ж, як і у 2, а у 25 - так само, як і у 5.
Закономірності зведення в ступінь:
Запис числа, що є повним квадратом, може закінчуватися лише цифрами 0, 1, 4, 5, 6 або 9.
Якщо запис числа закінчується цифрою 0, 1, 5 або 6, то зведення в будь-яку ступінь не змінить останні цифри.
При зведенні будь-якого числа в п'яту ступінь його остання цифра не зміниться.
Якщо число закінчується цифрою 4 (або 9), то при зведенні в непарну ступінь остання цифра не змінюється, а при зведенні в парну ступінь зміниться на 6 (або 1 відповідно).
Якщо число закінчується цифрою 2, 3, 7 або 8, то при зведенні в ступінь можливі чотири різних цифри.
Дві останні цифри ступеня.
Ми тепер знаємо, що остання цифра рано чи пізно буде повторюватися. Але як же йде справа з 2-ма останніми цифрами? Я насмілюся припустити, що не тільки 2, але і 3 і більше останніх цифр будуть повторюватися. Що ж перевіримо це, так само я помітила, що періоди з минулого таблиці просто збільшилися в 5 разів, крім чисел 5 і 10, а про число 1 я писати не стала, так як результат завжди буде 1.