періодичне продовження
З математичної точки зору красивіше і природніше вважати інтервал [0, р] НЕ відрізком прямої, а кільцем, і розуміти поля та інші величини як функції на кільці, однозначні для бозонів і двозначні для ферміонів. Ця мова Еквівалентний мови періодичних продовжень. [31]
Наприклад, періодично продовжимо функцію, зображену суцільною лінією на рис. І, і аппроксимируем її тригонометричним рядом Фур'є. Цей ряд сходиться в кожній точці, але нерівномірно, бо періодичне продовження у (х) розривно. Якщо ж ми покладемо у0 (х) х, то функція у (х) - уа (х), зображена пунктиром на рис. 11, має безперервне періодичне продовження, і її ряд Фур'є сходиться до неї рівномірно. Швидкість збіжності ряду при цьому також зростає. [32]
Обчисливши у і прирівнявши її нулю, ми могли б визначити точне положення цих перегинів. Після побудови графіка функції на проміжку [0; 2п] можна періодичним продовженням отримати графік на всій осі і стане видно, що в точках xQ і х - 2а функція має мінімум. [33]
Питання про розкладанні початкових даних в ряд по функціях (11 25) є добре вивчений питання про розкладання функції в подвійний ряд Фур'є по синусах. Якщо початкові дані після непарного продовження по х і по у на прямокутник х а, у Ь і періодичного продовження на всю площину є чотири безперервно диференціюються функції, то коефіцієнти розкладів (6 25) досить швидко наближаються до нуля для того, щоб ряд (7 25) допускав дворазове диференціювання. Таким чином, в цьому випадку метод Фур'є для вирішення даного завдання є цілком обґрунтованим. Ми бачимо, що довільне коливання мембрани так само, як і коливання струни, може бути представлено як накладення ряду простих, так званих власних, коливань, відповідних власним значенням пунктів. [34]
Якщо функція / (х) задана в проміжку а х Ь, то для розкладання цієї функції в ряд Фур'є можна розглядати періодичне продовження функції f (х) різними способами. [35]
Якщо ми її продовжимо періодично з періодом 2л, вона буде неперервною на всій осі Ох. Домовимося надалі називати функцію з періодом 2л безперервної періодичної функцією в тому і тільки в тому випадку, коли вона залишається безперервної і після її періодичного продовження; якщо ж / (х) неперервна тільки на деякому відрізку довжини 2а, але в його кінцях має різні значення, а отже стає розривної, якщо її продовжити періодично (див. рис. 4 на стор. [36]
Однак в 2.4 було показано, що система синусів володіє поганими апроксимативних властивостями. Це означає, що збіжність послідовних наближень, отриманих будь-яким проекційним методом за допомогою цієї системи, буде порівняно повільної при як завгодно гладких, але не допускають гладкого періодичного продовження даних завдання. В силу цього ми розглянемо і іншу систему, позбавлену цього недоліку. [37]
Продовжимо функцію f з полуінтервала [- л, л) періодично на всю речову вісь. Це, правда, може привести (в разі, коли визначена в точці л і / (- л) 4 / (л)) до зміни значення функції в одній точці х л, однак, оскільки коефіцієнти Фур'є функції визначаються е допомогою інтегралів (55.6) , то це не призведе до їх зміни, і, отже, ряди Фур'є даної і продовженої функції збігаються. Відзначимо, що при такому періодичному продовження безперервність функції /, якщо вона була неперервна, взагалі кажучи, порушується. [38]
Ряд Фур'є може бути застосований для подання не тільки періодичних сигналів, але і сигналів кінцевої тривалості. При цьому обумовлюється часовий інтервал, для якого будується ряд Фур'є, а в інші моменти часу сигнал вважається рівним нулю. Для розрахунку коефіцієнтів ряду такий підхід фактично означає періодичне продовження сигналу за межами даного інтервалу. [39]
Для цього потрібно продовжити періодично відповідне потенційне обурення з одного інтервалу на всю вісь. Дійсно, кожен рівень системи на окремому інтервалі розпливається в дозволену зону при періодичному продовження. Зрушення одного такого рівня викликає зрушення і відповідної спектральної зони. [40]
Тоді видно, що поверхня Фермі, наприклад, другий енергетичної зони є поверхнею, яка виділяє в просторі хвильових векторів область перекриття двох сусідніх сфер. Тому, щоб побудувати поверхню Фермі для деякої енергетичної смуги, зону Брілюена можна вибрати відносно будь-якої точки оберненого простору, так як при періодичному продовження все одно вийде повна поверхня Фермі. Приклад простого кубічного кристала зображений на рис. 16.7, де показана поверхня Фермі для другої енергетичної зони. Поверхня Фермі першої енергетичної зони відокремлює області, розташовані всередині однієї сфери, від областей, що не потрапляють всередину сфер взагалі. Ця поверхня має ограновування алмазу з кілька увігнутими гранями. [41]
Наприклад, періодично продовжимо функцію, зображену суцільною лінією на рис. І, і аппроксимируем її тригонометричним рядом Фур'є. Цей ряд сходиться в кожній точці, але нерівномірно, бо періодичне продовження у (х) розривно. Якщо ж ми покладемо у0 (х) х, то функція у (х) - уа (х), зображена пунктиром на рис. 11, має безперервне періодичне продовження. і її ряд Фур'є сходиться до неї рівномірно. Швидкість збіжності ряду при цьому також зростає. [42]
Але якщо можна для організації матерії створити шкалу цінностей, то слід визнати, що організація живої матерії значно вище. Хоча шифр організації живої речовини, як і у кристала, закодований в одній молекулі (правда, за масштабами неживої природи - величезною), принцип побудови не має нічого спільного з простим періодичним продовженням. [43]
Сторінки: 1 2 3