23.1. Певний інтеграл Рімана
Нагадаємо, що безліч точок відрізка [a, b] таких, що
називаємося дрібністю розбиття. називається інтегральною сумою Рімана функцііf. У разі якщо функція f неотрицательна, то інтегральна сума дорівнює площі фігури, складеної з прямокутників з повним правом [xk -1, xk] і висотою довжини f (k) (рис. 102). відрізка [a, b], обмеженість яких прагне до нуля: | n | = 0. і для будь-якого вибору точок, k = 1, 2, послідовності інтегральних сум мають до того ж один і той же межа.
Розбиття називається розбиттям. вписаним в розбиття, якщо *, т. е. якщо кожна точка розбиття міститься в розбитті *. У цьому випадку кожен відрізок [,] розбиття міститься в деякому відрізку [xj-1, xj] розбиття, j = 1, 2..
Розбиття *, вписане в розбиття, називається також розбиттям. наступним за розбиттям, і пишуть *. В цьому випадку говорять також, що розбиття передує розбиття *, і пишуть *.
Істотними є такі дві властивості розбиття відрізка.
1 o. Якщо ', а' ". То".
Дійсно, якщо кожен відрізок розбиття "міститься в деякому відрізку розбиття '. А кожен відрізок розбиття' міститься в деякому відрізку розбиття, то кожен відрізок розбиття" міститься у відповідному відрізку розбиття.
2 o. Для будь-яких разбіеній'і "існує таке розбиття, что'і".
Справді, таким розбиттям є, наприклад, розбиття, що складається з усіх точок обох розбиття 'і ".
Нехай функція f визначена на відрізку [a, b], a
Визначення 1. Функція f називається інтегрованою за Ріманом на відрізку [a, b], якщо для будь-якій послідовності розбиттів
Ця межа називається інтегралом Рімана функцііfпо відрізку [a, b]. Його позначають і пишутьСхожі статті