Для того, щоб навчитися вирішувати певні інтеграли необхідно:
1) Вміти знаходити відповідні невизначені інтеграли.
2) Вміти обчислити визначений інтеграл.
Як бачите, для того, щоб освоїти певний інтеграл, потрібно досить добре орієнтуватися в «звичайних» невизначених інтеграли. Тому, якщо ви тільки-тільки починаєте занурюватися в інтегральне числення, і чайник ще не зовсім закипів, то краще почати з уроку Невизначений інтеграл. Приклади рішень.
У загальному вигляді визначений інтеграл записується так:
Що додалося в порівнянні з невизначеним інтегралом?
Додалися межі інтегрування.
Нижня межа інтегрування стандартно позначається буквою a.
Верхня межа інтегрування стандартно позначається буквою b.
Відрізок [a; b] включає граничні точки і називається відрізком інтегрування.
Що таке певний інтеграл? Можна подивитися в підручниках про діаметр розбиття відрізка, межа інтегральних сум і т. Д. Але урок носить практичний характер. Тому скажемо, що визначений інтеграл - це, перш за все, як там не є звичайне ЧИСЛО.
Чи є у певного інтеграла геометричний сенс? Є. І дуже хороший. Найпопулярніша завдання обчислення певного інтеграла - обчислення площі за допомогою визначеного інтеграла.
Що означає вирішити певний інтеграл? Вирішити певний інтеграл - це значить, знайти число, що дорівнює приросту первісної функції на відрізку [a; b].
Як вирішити певний інтеграл? За допомогою знайомої зі школи формули Ньютона-Лейбніца:
Формулу краще переписати на окремий листочок, вона повинна бути перед очима протягом усього уроку.
Етапи вирішення певного інтеграла наступні:
1) Спочатку знаходимо первісну функцію F (X) (невизначений інтеграл). Зверніть увагу, що константа C в певному інтегралі ніколи не додається.
Позначення є чисто технічним, і вертикальна паличка не несе ніякого математичного сенсу, по суті - це просто отчёрківаніе. Навіщо потрібна сама запис
Це підготовка для застосування формули Ньютона-Лейбніца.
2) Підставляємо значення верхньої межі в первісну функцію: F (b).
3) Підставляємо значення нижньої межі в первісну функцію: F (a).
4) Розраховуємо (без помилок!) Різниця F (b) -F (a), тобто, знаходимо число, рівне збільшенню первісної (від підінтегральної) функції на відрізку [a; b].
Чи завжди існує певний інтеграл? Ні, не завжди існує все, що ми напишемо в вигляді певного інтеграла. Наприклад, інтеграла
не існує, оскільки відрізок інтегрування не входить в область визначення підінтегральної функції і значення під квадратним коренем не можуть бути негативними. А ось менш очевидний приклад:
Такого інтеграла теж не існує на всьому відрізку [-2; 3], так як в точках
цього відрізка подинтегральная функція f (x) = tg (x) не існує.
Для того, щоб певний інтеграл існував на даному відрізку, необхідно, щоб підінтегральна функція була неперервною на відрізку інтегрування.
З вищесказаного випливає перша важлива рекомендація: перед тим, як приступити до вирішення БУДЬ-ЯКОГО певного інтеграла, потрібно переконатися в тому, що підінтегральна функція неперервна на відрізку інтегрування. Буває так, що підлягає мучишся з перебуванням важкою первісної, а коли нарешті її знаходиш, то ще й ламаєш голову над питанням: «що за нісенітниця вийшла?». Наприклад, якщо вийшло приблизно так:
то не можна підставляти негативні числа під корінь! Якщо для вирішення в контрольній роботі, на заліку або іспиті Вам запропонований неіснуючий інтеграл на кшталт
то потрібно дати відповідь, що інтеграла не існує і обгрунтувати - чому.
Чи може певний інтеграл дорівнювати негативного числа? Може. І негативного числа. І нулю. Може навіть вийти нескінченність, але це вже буде невласний інтеграл. яким відведена окрема лекція.
Чи може нижня межа інтегрування бути більше верхньої межі інтегрування? Може, і така ситуація реально зустрічається на практиці. інтеграл
спокійнісінько обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца.
Без чого не обходиться вища математика? Звичайно ж, без всіляких властивостей. Тому розглянемо деякі властивості визначеного інтеграла.
У певному інтегралі можна переставити верхню і нижню межу, змінивши при цьому знак:
Наприклад, в певному інтегралі перед інтеграцією
доцільно поміняти межі інтегрування на «звичний» порядок:
У такому вигляді інтегрувати значно зручніше.
Як і для невизначеного інтеграла, для певного інтеграла справедливі властивості лінійності:
Це справедливо не тільки для двох, але і для будь-якої кількості функцій.
У певному інтегралі можна проводити заміну змінної інтегрування. правда, в порівнянні з невизначеним інтегралом тут є своя специфіка, про яку ми ще поговоримо.
Для певного інтеграла справедлива формула інтегрування частинами. .
Обчислити визначений інтеграл
(1) Виносимо константу за знак інтеграла.
(2) Інтегруємо по таблиці за допомогою найпопулярнішою формули
(3) Використовуємо формулу Ньютона-Лейбніца
Спочатку підставляємо в x 3 верхня межа, потім - нижню межу. Проводимо подальші обчислення і отримуємо остаточну відповідь.
Обчислити визначений інтеграл
Це приклад для самостійно рішення, рішення і відповідь в кінці уроку.
Обчислити визначений інтеграл
(1) Використовуємо властивості лінійності певного інтеграла.
(2) Інтегруємо по таблиці, при цьому всі константи виносимо - вони не братимуть участі в підстановці верхньої і нижньої межі.
(3) Для кожного з трьох доданків застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца.
СЛАБКА ЗВЕНО в певному інтегралі - це помилки обчислень і часто зустрічається ПЛУТАНИНА В ЗНАКИ. Будьте уважні! Особливу увагу загострюємо на третьому доданку:
т. к. дуже часто машинально пишуть
Слід зауважити, що розглянутий спосіб вирішення певного інтеграла - не єдиний. При певному досвіді, рішення можна значно скоротити. Наприклад, так:
Тут усно використані правила лінійності, усно проинтегрировал табличні інтеграли. Вийшла за все одна дужка з отчёрківаніем меж:
(На відміну від трьох дужок в першому способі). І в «Целікова» первісну функцію ми спочатку підставили 4, потім -2, знову ж виконавши всі дії в розумі.
При другому способі існує підвищений ризик припуститися помилки в обчисленнях, тому студенту-чайнику краще використовувати перший спосіб, щоб не втрачати знаки.
Безперечними перевагами другого способу є швидкість вирішення, компактність запису і той факт, що первісна.
знаходиться в одній дужці.