Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
3.1. Рівняння поверхні в просторі.
Положення точки в просторі визначається трьома координатами.
Прямокутна декартова система координат в просторі являє собою три перпендикулярні прямі Ox. Oy. Oz. забезпечені масштабами і напрямами. Такі прямі називаються координатними осями. Координатами точки M0 (x0, y0, z0) називаються координати підстав перпендикулярів, опущених з цієї точки на координатні осі.
Рівнянням поверхні (в обраній системі координат) називається таке рівняння з трьома змінними F (x, y, z) = 0, якому задовольняють координати кожної точки, що лежить на цій поверхні, і тільки вони.
3.2. Площина в просторі.
Нехай площина проходить через точку M0 (x0, y0, z0) перпендикулярно вектору = (А, B, C). Цими умовами визначається єдина площина в просторі Oxyz. Вектор називається нормальним вектором площини. Для довільної точки площини M (x, y, z) ( «поточної точки») вектори = (x-x0, y-y0, z-z0) і повинні бути перпендикулярні. отже,
скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто (.) = 0. Отримане рівняння представимо в координатної формі:
Рівняння (18) являє рівняння площині. перпендикулярної даному вектору = (А, B, C) і проходить через цю точку M0 (x0, y0, z0) (рис. 9).
Приклад 16. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M0 (-1,0,2) і перпендикулярній вектору = (2,5, -1).
Рішення. Шукане рівняння має вигляд 2 (x + 1) +5 (y- 0) -1 (z- 2) = 0. # 9632;
Рівняння площини, записане у вигляді
Аx + By + Cz + D = 0 (19)
(Де D = - Аx0- By0- Cz0), називається загальним рівнянням площини. Так, в попередньому прикладі рівняння можна надати вигляду 2x + 5y-z + 4 = 0.
Зауваження. Будь-яке рівняння виду (19) (де хоча б одне з чисел А. В. С не дорівнює нулю) задає площину в просторі і, навпаки, рівняння будь-якій площині є рівняння першого ступеня.
Відзначимо, що рівняння (.) = 0 можна застосувати для виведення рівняння площини в просторі, заданої трьома точками M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3), що не лежать на одній прямій. Так, взявши в якості нормального вектора = - векторний добуток на. а в якості M0 точку M1. отримаємо
що призводить до рівняння площини в формі визначника:
Зокрема, якщо площину не проходить через початок координат і перетинає координатні осі в точках M1 (a, 0,0), M2 (0, b, 0), M3 (0,0, c), то рівняння (20) приводиться до увазі
званому рівнянням площини «в відрізках».
Розглянемо далі окремі випадки загального рівняння площини.
Якщо D = 0, то рівняння Аx + By + Cz = 0 визначає площину, що проходить через початок координат. Інші окремі випадки визначаються розташуванням нормального вектора = (А, B, C). Так, наприклад, якщо А = 0, то рівняння By + Cz + D = 0 визначає площину, паралельну осі Ox (і проходить через вісь Ox. Якщо D = 0); якщо А = B = 0, то рівняння Cz + D = 0 визначає площину, паралельну площині Oxy (зокрема, z = 0 - рівняння самої площині Oxy).
Двогранний кут між двома площинами. заданими своїми загальними рівняннями
кут j лежить в межах від 0 до p; інший двогранний кут, утворений двома пересічними площинами, дорівнює p -j.
Приклад 17. Знайти кут між площинами, заданими рівняннями 3x-y- 2z + 250 = 0 і x -2y + z -111 = 0.
Рішення. Знаходимо косинус кута між нормальними векторами = (3, -1, -2) і = (1, -2,1):
звідси j = arccos. Інший двогранний кут дорівнює 180 ° -71 ° = 109 °. # 9632;
Дві дані площини (22) перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори = (А1, B1, C1) і = (А2, B2, C2) перпендикулярні між собою, звідки скалярний твір (.) = 0 або = 0. Наприклад, площини 3x -y + 2z -31 = 0 і 5x + 3y -6z + 1 = 0 перпендикулярні, так як 3 × 5 + (- 1) × 3 + 2 × (-6) = 0. Дві дані площини паралельні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори і колінеарні, тобто при виконанні умови.
Приклад 18. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M0 (1, -1,0) і паралельній площині 2x + 3y- 4z -1 = 0.
Рішення. Так як у паралельних площин один і той же нормальний вектор = (2,3, -4), то шукане рівняння має вигляд 2 (x -1) +3 (y + 1) -4 (z- 0) = 0 або 2x + 3y- 4z + 1 = 0. # 9632;
3.3 [крім ФЕУ] .Прямая лінія в просторі.
Лінія в просторі визначається спільним завданням двох рівнянь F (x, y, z) = 0, F (x, y, z) = 0 як перетин двох поверхонь, що задаються цими рівняннями.
Так, пряма в просторі може бути задана як лінія перетину двох площин, тобто як безліч точок, що задовольняють системі
Рівняння (24) називаються канонічними рівняннями прямої в просторі.
Приклад 19. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки M0 (1, -1,3) і M1 (0,3,5).
Рішення. Скористаємося рівняннями (24), взявши в якості направляючого вектора = (0-1,3 - (- 1), 5-3) або = (-1,4,2):
При викладі теорії множин ми будемо дотримуватися так званої інтуїтивної точки зору, згідно з якою такі поняття, як "безліч", "елемент безлічі", відносяться до початкових понять математики і тому не підлягають визначенню.
З поняттям безлічі ми стикаємося, перш за все тоді, коли з якої-небудь причини об'єднуємо за певною ознакою в одну групу якісь об'єкти і далі розглядаємо цю групу або сукупність як єдине ціле.
Безлічі прийнято позначати великими латинськими літерами. Об'єкти, які утворюють безліч, називають елементами множини і для позначення елементів використовують, як правило, малі літери латинського алфавіту. Якщо a є елементом множини M, то будемо говорити, що a належить множині M, і використовувати запис a Î M, в іншому випадку, якщо a не належить безлічі M, будемо використовувати позначення a Ï M.
У різних додатках дискретної математики найчастіше зустрічаються кінцеві безлічі. Інтуїтивний зміст цього терміна є очевидним: такі безлічі містять кінцеве число елементів. Число елементів кінцевого безлічі A називають потужністю цієї множини і позначають символом Card A або | A |. Поряд з кінцевими множинами в математиці розглядають і нескінченні множини, тобто такі, які містять нескінченно багато елементів. Так, наприклад, нескінченно безліч натуральних чисел N, безліч раціональних чисел Q, безліч дійсних чисел R.