Оцінку похибки інтерполяції функції f (x), що диференціюється n + 1 раз на відрізку [a, b], що містить вузли інтерполяції xi (i = 0,1, n) зручно виконати, використовуючи вираз:
як наслідок з теореми про похибки
Звернемо увагу на одну з інтерполяційних задач, пов'язаних з побудованими уявленнями Rn. Нехай потрібно виконати інтерполювання функції у всіх точках відрізка [a, b]. Похибка його залежить від вибору вузлів xi. точки х і властивостей функції f. Якщо інтерполюється одна певна функція f, то точність інтерполяції характеризується величиною max½Rn (x) ½. Коли ми інтерполіруя не одну функцію f, а деякий безліч функцій f, то точність може бути оцінена величиною sup max½Rn (x) ½ = m = m (x0, x1, ..., xn). (13)
Ця величина залежить тільки від вибору вузлів хi (i = 0,1, ..., n).
Поставимо задачу про вибір вузлів xi. які можна було б вважати найкращими при інтерполяції всіх функцій f на [a, b] з взятого безлічі. Такими вузлами природно вважати ті, для яких величина m (x0, x1, ..., x n) досягає найменшого значення. Знайдемо такі вузли для безлічі всіх функцій з безперервною похідною порядку n + 1 на [а, b]. Змінимо на час це завдання і розглянемо функції f, для яких при деякому довільно взятому позитивному M виконується нерівність
½f (n +1) (x) ½ £ M. (14)
Для таких функцій похибка Rn (x) може бути оцінена наступним нерівністю, яке відразу випливає з (11):
max½Rn (x) ½ £ [M / (n + 1!)] max½w (x) ½.
Ця оцінка є не покращуваною, так як в ній має місце знак рівності, коли f є наступний многочлен ступеня n + 1:
sup max½Rn (x) ½ = [M / (n + 1)!] max½w (x) ½. (15)
Перший множник правої частини (15) не залежить від вибору вузлів хi. і тому найкращими вузлами при інтерполяції функцій f, що задовольняють умові (14), потрібно визнати ті хi. для яких
Цей висновок вірно при будь-яких М у нерівності (14). Можна тому стверджувати, що такі вузли будуть найкращими при інтерполяції всяких функцій f з безперервною похідною порядку n + 1 на [а, b].