Нехай деякий природний або штучний об'єкт починає функціонувати в момент часу T = 0. В якості такого об'єкта можна, наприклад, розглядати жива істота з моменту його народження або з будь-якого іншого етапного для нього моменту; працюючий механізм або елемент цього механізму з моменту його включення, і т. д.
Нехай Т - час безаварійного функціонування цього об'єкта (для живої істоти це може бути час до втрати придатності його до того чи іншого виду діяльності або до його смерті; для механізму це може бути час до першої його поломки або до остаточного виходу його з ладу, і т. д.). Згідно свого сенсу, Т - безперервна випадкова величина, можливі значення T якої можуть бути, в принципі, будь-якими невід'ємними числами:.
Поставимо тепер природне запитання: наскільки ймовірним є те, що для даного об'єкта буде мати місце нерівність, де T - деякий заданий час? Тобто поставимо питання: наскільки ймовірним є те, що за час T функціонуючий об'єкт не вийде з ладу? Імовірність цю позначимо символом R (T) і назвемо Функцією надійності:
Очевидно, що для будь-якого функціонуючого об'єкта зазначена ймовірність R (T) збереження своїх властивостей протягом часу T буде спадати зі зростанням T, Починаючи з 1 при T = 0, і прагнути до нуля при. Більш того, як показали численні практичні дослідження найрізноманітніших об'єктів (технічних пристроїв; природних утворень; живих організмів і т. Д.) Це спадання функції надійності R (T) здійснюється приблизно по показовому (експоненціального) закону
Така поведінка функції надійності R (T) називають ще Показовим законом надійності (рис.2.16).
З'ясуємо зміст параметра в разі показового закону надійності. Для цього знайдемо щільність ймовірності і основні числові характеристики () випадкової величини Т.
Почнемо з знаходження. Її будемо шукати, виходячи з визначення (3.1) щільності ймовірності неперервної випадкової величини.
Нехай T - деяке фіксоване значення величини Т (T - момент виходу об'єкта з ладу). Оточимо це значення деяким частковим проміжком [] довжиною і розглянемо ймовірність того, що випадкова величина Т прийме значення всередині цього проміжку. Тобто розглянемо ймовірність того, що об'єкт вийде з ладу в якийсь момент часу, що належить цьому проміжку (рис.2.17).
- щільність ймовірності випадкової величини Т. представляє собою час безаварійного функціонування об'єкта, що має показовий закон надійності. Графік цієї щільності ймовірності зображений на рис.2.19. До речі, розподіл зазначеної випадкової величини Т носить назву Показового розподілу.
Знаючи щільність ймовірності, можемо тепер за формулами (3.9) - (3.14) знайти і числові характеристики () випадкової величини Т (отримаєте їх самостійно):
Тут TСр- Середній час безаварійного функціонування об'єкта. Через Tср можна висловити і функцію надійності (4.23) випадкової величини Т. і щільність її ймовірності (4.25):
На закінчення відзначимо наступний важливий факт: ймовірність безаварійної роботи будь-якого об'єкта на інтервалі часу тривалості T. якщо час Т безаварійної роботи цього об'єкту має показовий розподіл, Чи не залежить від початку розглянутого інтервалу, а залежить тільки від його длітельностіT.
Для доказу цього твердження введемо наступні події (рис. 2.20):
А - безвідмовне функціонування об'єкта на інтервалі часу ();
В - безвідмовне функціонування об'єкта на інтервалі часу ();
З - безвідмовне функціонування об'єкта на інтервалі часу ():
Очевидно, що С = АВ. звідки слід:
Де R (T) - ймовірність безвідмовного функціонування об'єкта на інтервалі часу (), а - ймовірність безвідмовного функціонування об'єкта на інтервалі часу (). Ці ймовірності рівні, що і доводить заявлений вище факт.
Відзначимо, що випадкові величини, що мають показовий розподіл (показовий закон надійності), тісно пов'язані з подіями найпростішого (пуассоновского) потоку. Дійсно, згідно з формулою (2.8) глави 1 ймовірність того, що за час T чи не з'явиться жодного з подій найпростішого потоку, знайдеться за формулою:
Тут - інтенсивність пуассоновского потоку (середнє число подій потоку, що з'являються за одиницю часу). Тоді - середній час, що проходить між появами окремих подій потоку. З огляду на це ймовірність (4.30) набуде вигляду:
Але точно такий же вигляд, згідно (4.27), має показова функція надійності R (T), яка визначає ймовірність безаварійної роботи об'єкта протягом часу T. Таким чином, час Т безаварійної роботи об'єкта при показовому законі надійності і час Т. проходить між сусідніми подіями найпростішого потоку, мають один і той же розподіл. А саме, показовий розподіл з щільністю ймовірності, описуваної формулою (4.27).
Приклад 3. Середній час безвідмовної роботи деякого пристрою, що має показовий закон надійності, дорівнює 50 годинам. Визначити ймовірність того, що пристрій безвідмовно пропрацює 100 годин.
Рішення . Нехай Т - час безвідмовної роботи пристрою. Так як середнє значення цього часу Tср = 50 годин, то функція надійності R (T) для розглянутого пристрою має, згідно (4.27), вид:
Тоді, згідно з (4.22), отримуємо шукану ймовірність:
1. Інтервал руху тролейбусів становить 5 хвилин. Яка ймовірність того, що прийшов на зупинку пасажиру доведеться очікувати чергового тролейбуса не менше трьох хвилин?
2. Проводиться зважування деякого речовини без систематичних помилок із середньою випадковою помилкою 20 г (в ту або іншу сторону). Знайти ймовірність того, що зважування буде зроблено з помилкою, що не перевищує за абсолютною величиною 10 м
3. Норма висіву насіння на 1 га дорівнює 200 кг. Фактичні витрати насіння на 1 га коливається близько цього значення з середнім квадратичним відхиленням 10 кг. Визначити кількість насіння, що забезпечують посів на площі 100 га з гарантією (ймовірністю) 0,95.
4. Верстат-автомат виробляє циліндричні болванки. Проектний розмір діаметра болванок становить 100 мм. Відомо, що верстат виробляє в середньому 2% болванок діаметром понад 101 мм. Болванка вважається придатної, якщо її діаметр знаходиться в межах від 99 мм до 101 мм. Скільки відсотків придатних болванок виробляє верстат-автомат?
5. Відчувають два незалежно працюючих пристрої. Тривалість безвідмовної роботи обох пристроїв має показовий розподіл. Середній час безвідмовної роботи першого пристрою становить 40 годин, другого 20 годин. Знайти ймовірність того, що протягом 10 годин:
А) не відмовить перший пристрій;
Б) не відмовить другий пристрій;
В) обидва пристрої не відмовлять;
Г) обидва пристрої відмовлять;
Д) хоча б один пристрій не відмовить.
Відповідь. а) 0,78; б) 0,61; в) 0,47; г) 0,09; д) 0,91.
6. У місті народжується в середньому 5 дітей в добу. Вважаючи народження дітей подіями, складовими найпростіший потік подій, знайти:
А) математичне сподівання;
Б) середнє квадратичне відхилення;
В) коефіцієнт варіації випадкової величини Т - часу між послідовними народженнями дітей.