Показовий розподіл широко використовується в теорії надійності.
Припустимо, якийсь пристрій починає працювати в момент часу t0 = 0. а через якийсь - то час t відбувається відмова пристрою.
Позначимо Т безперервну випадкову величину - тривалість безвідмовної роботи пристрою.
Таким чином, функція розподілу F (t) = P (T Імовірність протилежної події (безвідмовна робота протягом часу t) дорівнює R (t) = P (T> t) = 1-F (t). Функцією надежностіR (t) називають функцію, що визначає ймовірність безвідмовної роботи пристрою протягом часу t. Часто на практиці тривалість безвідмовної роботи підпорядковується показовому закону розподілу. Взагалі кажучи, якщо розглядати новий пристрій, то ймовірність відмови на початку його функціонування буде більше, потім кількість відмов знизиться і буде деякий час мати практично одне і те ж значення. Потім (коли пристрій виробить свій ресурс) кількість відмов буде зростати. Іншими словами, можна сказати, що функціонування пристрою протягом всього існування (в сенсі кількості відмов) можна описати комбінацією двох показових законів (на початку і кінці функціонування) і рівномірного закону розподілу. Функція надійності для будь - якого пристрою під час показового законі розподілу дорівнює: Дане співвідношення називають показовим законом надійності. Важливим властивістю, що дозволяє значно спростити рішення задач теорії надійності, є те, що ймовірність безвідмовної роботи пристрою на інтервалі часу t не залежить від часу попередньої роботи до початку розглянутого інтервалу, а залежить тільки від тривалості часу t. Таким чином, безвідмовна робота пристрою залежить тільки від інтенсивності відмов l і не залежить від безвідмовної роботи пристрою в минулому. Так як подібним властивістю володіє тільки показовий закон розподілу, то цей факт дозволяє визначити, чи є закон розподілу випадкової величини показовим чи ні. Приклад: Тривалість безвідмовної роботи приладу має показовий закон розподілу: F (t) = 1 - e -0,01 t (t> 0). Знайти ймовірність того, що за час t = 50 годин: а) елемент відмовить; б) елемент не відмовить. Рішення: Оскільки функція розподілу визначає ймовірність відмови приладу за час t, то підставивши в функцію t = 50, отримаємо ймовірність відмови: F (50) = 1 - e -0,01 # 8729; 50 = 1 - e -0,5 = 1 - 0,606 = 0,394 Події «прилад відмовить» і «прилад не відмовить» є протилежними, тому ймовірність того, що прилад не відмовить: Р = 1 - 0,394 = 0,606 Такий же результат можна було отримати, використовуючи функцію надійності: R (50) = e -0,01 # 8729; 50 = 0,606 1. Ознайомитися з теоретичною частиною даної роботи (лекції, підручник). 9.4 Варіанти завдань для самостійної роботи 1. Математичне сподівання нормально розподіленої випадково величини Х одно a = 3, середнє відхилення # 963; = 2. Написати щільність ймовірності. 2. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х відповідно рівні 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення укладену в інтервалі (15,25). 3. Деталь вважається придатною, якщо відхилення її контрольованого розміру від проектного не перевищує 10 мм. Випадкові відхилення контрольованого розміру від проектного полагоджені нормальному закону із середнім квадратичним відхиленням s = 5мм і математичним очікуванням а = 0. Скільки відсотків придатних деталей виготовляє автомат? 4. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним очікуванням а = 10 і середнім квадратичним відхиленням # 963; = 5. Знайти інтервал, симетричний щодо математичного очікування, в який з ймовірністю 0,9973 потрапить величина Х в результаті випробування. 5. Безперервна випадкова величина Х розподілена по показовому закону, заданому при щільністю розподілу; при функції. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення з інтервалу (1,2). Обчислити характеристики НСВ. 6. Відчувають три елементи, які працюють незалежно один від іншого. Тривалість часу безвідмовної роботи елементів розподілена по показовому закону: для першого. для другого. для третього. Знайти ймовірність того, що за 5 годин відмовлять: а) тільки один елемент; б) не менше двох елементів. 1. Написати щільність ймовірності нормально розподіленої випадкової величини Х, знаючи, що М (Х) = 3 і D (X) = 16. 2. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х відповідно рівні 17 і 8. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення укладену в інтервалі (5,19). 3. Автомат виготовляє кульки. Шарик вважається придатним, якщо відхилення Х діаметра від проектного розміру по абсолютній величині менше 0,7 мм. Вважаючи, що випадкова величина X розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням s = 0,4 мм і математичним очікуванням а = 0, знайти скільки в середньому буде придатних кульок серед ста виготовлених? 4. Випадкова величина Х розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням # 963; = 5 мм. Знайти довжину інтервалу, симетричного щодо математичного очікування, в який з вірогідністю 0, 9973 потрапить Х в результаті випробування. 5. Безперервна випадкова величина Х розподілена по показовому закону, заданому при щільністю розподілу; при функції. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення з інтервалу (2,5). Обчислити характеристики НСВ. 6. Відчувають три елементи, які працюють незалежно один від іншого. Тривалість часу безвідмовної роботи елементів розподілена по показовому закону: для першого. для другого. для третього. Знайти ймовірність того, що за 10 годин відмовлять: а) тільки два елементи; б) не більше двох елементів. 1. Нормально розподілена випадкова величина Х задана щільністю розподілу f (X) =. Знайти математичне сподівання і дисперсію Х. 2. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х відповідно рівні 20 і 4. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення укладену в інтервалі (10,20). 3. Проводиться зважування деякого речовини без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування підпорядковані нормальному закону розподілу із середнім квадратичним відхиленням # 963; = 20 г. Знайти ймовірність того, що зважування буде зроблено з помилкою, що не перевищує за абсолютною величиною 10 м 4. Верстат-автомат виготовляє валики, причому контролюється їх діаметр Х. Вважається, що Х - нормально розподілена випадкова величина з математичним очікуванням а = 10 мм і середнім квадратичним відхиленням # 963; = 0,1 мм. Знайти інтервал, симетричний щодо математичного очікування, в який з ймовірністю 0,9973 будуть укладені діаметри виготовлених кульок. 5. Безперервна випадкова величина Х розподілена по показовому закону, заданому при щільністю розподілу; при функції. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення з інтервалу (1,2). Обчислити характеристики НСВ. 6. Відчувають три елементи, які працюють незалежно один від іншого. Тривалість часу безвідмовної роботи елементів розподілена по показовому закону: для першого. для другого. для третього. Знайти ймовірність того, що за 5 годин відмовлять: а) тільки один елемент; б) не менше двох елементів. 1. Дана функція розподілу нормального закону F (X) =. Знайти щільність розподілу f (X). 2. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х відповідно рівні 15 і 7. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення укладену в інтервалі (5,12). 3. Автомат виготовляє кульки. Шарик вважається придатним, якщо відхилення Х діаметра від проектного розміру по абсолютній величині менше 0,5 мм. Вважаючи, що випадкова величина X розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням s = 0,4 мм і математичним очікуванням а = 0, знайти скільки в середньому буде придатних кульок серед ста виготовлених? 4. Випадкова величина Х розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням # 963; = 7 мм. Знайти довжину інтервалу, симетричного щодо математичного очікування, в який з вірогідністю 0, 9973 потрапить Х в результаті випробування. 5. Безперервна випадкова величина Х розподілена по показовому закону, заданому при щільністю розподілу; при функції. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення з інтервалу (3,5). Обчислити характеристики НСВ. 6. Відчувають три елементи, які працюють незалежно один від іншого. Тривалість часу безвідмовної роботи елементів розподілена по показовому закону: для першого. для другого. для третього. Знайти ймовірність того, що за 10 годин відмовлять: а) тільки два елементи; б) не більше двох елементів. Питання до захисту практичної роботи №9 1. Яке розподіл НВС називається нормальним? 2. Що таке нормований нормальний розподіл НВС? 3. Сенс параметрів а і s? 4. Нормальна крива. Властивості і графік нормальної кривої? 5. У чому полягає вплив параметрів нормального розподілу на форму нормальної кривої? 6. Ймовірність влучення в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини. 7. Як обчислюється ймовірність заданого відхилення? 8. У чому полягає правило «трьох сигм»? 9. Яке розподіл називається показовим? 10. Ймовірність влучення в заданий інтервал показово розподіленої випадкової величини. 11. Числові характеристики показового розподілу? 12. Що таке функція надійності? 13. У чому полягає показовий закон надійності? 14. Характеристичне властивість показового закону надійності? Практична робота №10 Тема: Елементи математичної статистики. Мета роботи: Вивчити вибірковий метод, числові характеристики вибірки та методику їх розрахунку, точкову і интервальную оцінку, методику інтервального оцінювання математичного очікування нормального розподілу при відомій і невідомої дисперсії, методику інтервального оцінювання ймовірності події. Навчитися будувати графічну діаграму, розраховувати числові характеристики вибірки, розраховувати точкові оцінки, довірчі інтервали.Схожі статті