нехай # 945; (x) і # 946; (x) дві нескінченно малі функції при x → x0 і # 946; (x) відмінна від нуля в деякому околі точки х0 (за винятком, можливо, самої точкіх0). якщо
то # 945; (x) називається нескінченно малою вищого порядку, ніж # 946; (x). В цьому випадку пишуть # 945; (x) = o (# 946; (x)) і говорять # 945; (x) є про - мале від # 946; (x).
якщо
= А ≠ 0 (A - число),
то нескінченно малі # 945; (x) і # 946; (x) мають однаковий поряок малості. В цьому випадку пишуть # 945; (x) = O (# 946; (x)), (# 945; (x) є O - велике від # 946; (x).
якщо
то # 945; (x) називається нескінченно малою нижчого порядку, ніж # 946; (x).
якщо
то # 945; (x) і # 946; (x) називається еквівалентними нескінченно малими, # 945; (x)
# 946; (x).
У деяких випадках недостатньо знати, що одна з двох нескінченно малих є нескінченно малою вищого порядку, ніж інша. Потрібно ще оцінити, наскільки високий цей порядок. Тому вводиться наступне правило: якщо
то # 945; (x) є нескінченно малою n -го порядку щодо # 946; (x).
Неперервність функції в точці. Властивості неперервних в точці функцій.
Визначення 1. Функція називається неперервною в точці. якщо вона задовольняє таким умовам:
1) визначена в точці. тобто існує;
2) має кінцеві односторонні межі функції при зліва і справа;
3) ці межі дорівнюють значенню функції в точці. тобто
Визначення 2. Функція називається неперервною в точці. якщо вона визначена в цій точці і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:.
Визначення 1 і 2 рівносильні.
Властивості функцій, неперервних в точці
1. Якщо функції і неперервні в точці. то їх сума. добуток і частку (за умови) є функціями, безперервними в точці.
2. Якщо функція неперервна в точці і. то існує така околиця точки. в якій .
Доказ цієї властивості грунтується на тому, що при малих збільшеннях аргументу можна отримати як завгодно мале збільшення функції в околицях не зміниться.
3. Якщо функція неперервна в точці. а функція неперервна в точці. то складна функція неперервна в точці. Доказ полягає в тому, що малому приросту аргументу відповідає як завгодно мале збільшення. що приводить в свою чергу до безперервності функції до як угодномалому збільшенню.
Властивість можна записати:,
Тобто під знаком безперервної функції можна переходити до межі.
Точки розриву функцій.
Якщо функція f (x) не є безперервною в точці x = a. то кажуть, що f (x) має розрив в цій точці. На малюнку 1 схематично зображено графіки чотирьох функцій, дві з яких неперервні при x = a. а дві мають розрив.