Основи алгебри логіки.
Як математичного апарату для функцій і аргументів, які приймають тільки два значення - 0 і 1, використовується двійкова (булева) алгебра - алгебра логіки.
Логічними (булеві, двійковими) змінними (аргументами, висловлюваннями) в двійковій алгебри називаються величини, які незалежно від їх конкретної фізичної сутності можуть приймати тільки два значення - 0 і 1.
Логічні змінні, як і змінні звичайної алгебри, позначаються буквами латинського алфавіту з різними індексами (наприклад, х0. Х1. Х2, ... хn). Індекс при змінної означає відповідний розряд двійкового числа. Середнє арифметичне значення змінної позначається її прямим індексом без заперечення. Так, якщо змінна х1 = 1, то записується вона в коді двійкового числа як х1. Якщо ж х1 = 0, то відповідно записується вона з індексом заперечення, тобто . Тому двійкове _____ число 1001 може бути записано через змінні як х3 х2 х1 х0. Логічної, булевої, або перемикача функцією (функцією двозначної алгебри логіки) F (x0, x1, ..., xn) називають функцію, яка, як і її n аргументів, може приймати лише 2 значення -0 і 1. Таким чином, можна визначити булеву функцію як двійкову функцію двійкового аргументу.
Булеві, або переключательние, функції бувають комбінаційними і тимчасовими.
Комбінаційними називаються функції, значення яких однозначно визначається значеннями їх аргументів. Наприклад, логічна функція збігу дорівнює одиниці тільки в тому випадку, коли всі її аргументи дорівнюють одиниці. В інших випадках вона дорівнює нулю, причому ця умова дотримується незалежно від порядку, послідовності і часу надходження аргументів.
Комбінаційні функції іноді називають функціями без пам'яті, підкреслюючи відсутність в них властивості запам'ятовування інформації. Це означає, що після того, як зміна аргументів припиняється, той факт, що вони мали інше, ніж в даний момент, значення вже не може впливати на формування значення перемикача функції. Образно кажучи, комбінаційна функція «забуває» старі аргументи і може реагувати тільки на значення нових.
Схеми, що реалізують комбінаційні функції називаються комбінаційними (КС).
Тимчасовими називаються функції, значення яких визначаються як значеннями аргументів на даний момент часу, так і іншими параметрами, насамперед часом, тому при одних і тих же значеннях аргументів значення тимчасової функції може бути різним.
Тимчасові функції іноді називають функціями з пам'яттю, визначаючи тим самим їх важливе якість-запам'ятовування інформації. Образно кажучи, тимчасові функції пам'ятають або попереднє значення аргументів, або попереднє значення функції і реагують як на нові значення аргументів, так і на колишні значення аргументів або функції.
Комбінаційні функції і способи їх завдання.
Існують різні способи завдання або представлення логічних функцій. Основними з них можна назвати наступні.
Словесний уявлення, що відбиває словесну взаємозв'язок її аргументів зі значеннями функцій (наприклад, функція трьох аргументів приймає значення одиниці, якщо два або більше її аргументів рівні одиниці), у всіх інших випадках функція дорівнює нулю. Словесний уявлення логічної функції передує будь-якому іншому способу подання, оскільки воно відображає неформальну взаємозв'язок між аргументами і функцією.
Табличний спосіб. коли логічна функція задається у вигляді таблиці відповідності (таблиці істинності, станів). При цьому функція представляється у вигляді таблиці, в якій виписуються всі можливі набори аргументів в порядку зростання їх номерів, і для кожного набору встановлюється значення функції.
Число наборів аргументів, а значить, і число значень функції дорівнює 2 n. де # 8209; n-число змінних.
У таблиці 1.2 представлена функція, словесно задана в попередньому прикладі.
У булевої алгебри особливе місце займають функції двох змінних. Маючи набір функцій двох змінних, на підставі принципу суперпозиції можна утворити Переключательная функцію будь-якого числа змінних. Таблиця 1.2
Так є різних 2 n розрядних чисел, то кількість перемикачів функцій від n-змінних звичайно і так само.
Для n = 2 число різних перемикачів функцій дорівнює 16. Ці функції називаються елементарними і складають максимальний набір елементарних логічних функцій. Всі вони представлені в таблиці 1.3, в лівій частині якої наведені всі чотири набори аргументів, а в правій 16 різних значень елементарних логічних функцій.
Кожна з цих елементарних логічних функцій має свою назву (табл. 1.4). Наведені функції неоднозначні за значимістю, широті застосування і технічної реалізації.
Найбільш широко використовуються функції І, АБО, НЕ, АБО-НЕ, І-НЕ. Вони універсальні, з їх допомогою можна записати будь-яку іншу функцію, для них найбільш повно розроблений математичний апарат.
Аналітичний спосіб завдань функцій полягає в тому, що логічна функція F задається в вигляді алгебраїчного рівняння, в якому змінні хi пов'язані між собою знаками логічних операцій (табл. 1.4).
Існує дві основні форми запису логічних функцій в алгебраїчному вигляді, звані нормальними.
Перша - діз'юнктівная нормальна форма (ДНФ) -є логічну суму елементарних логічних творів (або диз'юнкцію елементарних кон'юнкція), в кожне з яких аргумент або його заперечення входить не більше одного разу.
Доказ істинності наведених законів отримують шляхом підстановки всіх комбінацій змінних xi (причому ліва і права частини рівнянь повинні бути тотожні) або шляхом алгебраїчних перетворень на основі тих же законів.
Наприклад, співвідношення x1 + x1 x2 = x1 може бути отримано наступним чином:
Числовий спосіб завдання функцій використовується для скорочення її записи, при цьому перемикальна функція записується у вигляді логічної суми десяткових номерів довічних наборів, на яких функція дорівнює одиниці (у вигляді десяткових номерів констітуєнт одиниці), наприклад, для функції, заданої табл. 1.2,
що читається як: функція F від трьох змінних дорівнює диз'юнкції констітуєнт одиниці. де i = 3, 5, 6, 7.
Послідовних ЛОГІЧНІ СХЕМИ
Більшість тригерів мають два виходи: прямий Q і інверсний Q ^, тобто Q = 1, Q ^ = 0 або навпаки Q = 0, Q ^ = 1. Стан тригера визначають за значенням виходу Q - нульове Q = 0 і одиничне Q = 1. Тригер змінює свій стан при деяких поєднаннях вхідних сигналів (режим перемикання) і зберігає свій стан при дії інших поєднань сигналів (режим зберігання), тобто має пам'ять. Існує велика кількість тригерів різного типу, побудованих на елементах І-НЕ, АБО-НЕ, які синтезуються як комбінаційні логічні схеми, а також тригери у вигляді інтегральної мікросхеми. За способом функціонування розрізняють: тригери RS - тригери з роздільним установкою, D - тригери затримки, T - рахункові тригери, JK - універсальні тригери. Назва тригерів визначаються першими буквами англійських слів: set -Встановити, reset -сбросіть, toggle -релаксатор, delay -затримка, jerk -різко включити, kill -різко вимкнути. За способом синхронізації тригери поділяються на асинхронні і синхронні або тактовані.
Розглянемо приклад побудови зазначених вище тригерів і тимчасові діаграми прямого виходу.
Асинхронний RS-тригер, (рис. 1), побудований на елементах І-НЕ, вимагає подачі інверсних сигналів на входи R і S.
Тактируемого (синхронний) RS - тригер (рис. 2), має два інформаційних входи і тактуючий вхід (Gate), який дозволяє його перемикання при наявності відповідних сигналів на інформаційних входах - як це показано на діаграмі.
D - тригер (Рис. 3) має один інформаційний вхід D, інший тактуючий C і встановлюється в стан, відповідне входу D при дії тактового сигналу C.
JK - тригер (Рис. 4) універсальний і працює за правилом RS - тригера (вхід J = S, вхід K = R), перемикаючись по зрізу синхроимпульса. Від RS - тригера він відрізняється тим, що комбінація J = K = 1 не є забороненою. При наявності цих сигналів він змінює свій стан на протилежне тому, в якому знаходився.
Т- тригер (Рис. 5) має один вхід, який є і тактується і інформаційним. Даний тригер будується на основі JK - тригера, при J = K = 1, а вхід C є інформаційним.
2. Регістри Регістри побудовані на елементах пам'яті - тригерах, кожен з яких служить для зберігання і обробки біта інформації. Кількість тригерів в регістрі визначається розрядністю зберігається слова. Регістри класифікуються на регістри пам'яті (паралельні) і зрушують (послідовні). Регістри можуть бути побудовані на різних триггерах. Розглянемо приклади побудови регістрів на D - тригерах. Паралельний регістр - рис. 6 здійснює одночасну запис в усі розряди (тригери) паралельного двійкового коду, поданого на вхід, при подачі одного тактового сигналу (синхроимпульса) зрушуютьсярегістрів служать для перетворення послідовного коду в паралельний і навпаки. При запису коду зрушення слів проводиться на необхідне число розрядів вправо або вліво шляхом з'єднання тригерів між собою і подачі тактових сигналів. Регістр, зсувний слова вправо або вліво в залежності від значення керуючого сигналу називають реверсивним Регістр зсуву (послідовний) на D-тригерах реалізується з'єднанням прямого виходу (при зсуві вправо) попереднього розряду з входом D наступного. Вхід D першого розряду служить для прийому в регістр інформації у вигляді послідовного коду. Тактові імпульси подаються на всі входи С тригерів паралельно. Кожен тактовий імпульс встановлює наступний тригер в стан, в якому до цього знаходився попередній, здійснюючи тим самим зрушення інформації на розряд вправо. Припустимо, що необхідно записати в регістр зсуву заданий число А = а3 а2 а1. Запис числа в регістр проводиться, починаючи з його старшого разрядаі вводиться в перший тригер після першого тактового імпульсу: Q1 = а3. При отриманні другого тактового імпульсу, значення а3. надходить з виходу Q1, переписується в другій тригер, т. e. встановлюється Q2 = а3. а в перший тригер надходить наступний розряд А2 і т. д. Після третього тактового імпульсу на виходах регістра встановлюється паралельний код Q1Q2Q3 = а1 а2 а3. Для зчитування отриманого паралельного коду у вигляді послідовного з виходу старшого розряду (тригера) необхідно подати ще 2 (тобто в загальному вигляді n - 1) тактовихімпульсів. Тимчасові діаграми сигналів на вході і виходах зсувного регістру із зсувом вправо представлена на рис. 7.