Поняття потужності і енергії теорії сигналів не відносяться до характеристик будь-яких фізичних величин сигналів, а є їх кількісними характеристиками, що відображають певні властивості сигналів і динаміку зміни їх значень (відліків) в часі, в просторі або з будь-яких інших аргументів.
Для довільного, в загальному випадку комплексного, сигналу s (t) = a (t) + jb (t), де а (t) і b (t) - речові функції, миттєва потужність (instantaneous power) сигналу по визначенню задається виразом:
w (t) = s (t) s * (t) = [a (t) + jb (t)] [a (t) -jb (t)] = a 2 (t) + b 2 (t) = | s (t) | 2. (2.9)
тобто функція розподілу миттєвої потужності по аргументу сигналу дорівнює квадрату функції його модуля, для речових сигналів - квадрату функції амплітуд.
Аналогічно для дискретних сигналів:
Енергія сигналу (також за визначенням) дорівнює інтегралу від потужності по всьому інтервалу існування або завдання сигналу. У межі:
Миттєва потужність w (t) є щільністю потужності сигналу, так як вимірювання потужності можливі тільки через енергію на інтервалах ненульовий довжини:
w (t) = (1 / Dt) | s (t) | 2 dt.
Енергія сигналів може бути кінцевою або нескінченною. Кінцеву енергію мають фінітні сигнали і сигнали, затухаючі за своїми значеннями в межах кінцевої тривалості, які не містять дельта-функцій і особливих точок (розривів другого роду і гілок, що йдуть в нескінченність). В іншому випадку їх енергія дорівнює нескінченності. Нескінченна також енергія періодичних сигналів.
Як правило, сигнали вивчаються на певному інтервалі Т, для періодичних сигналів - в межах одного періоду Т, при цьому середня потужність (average power) сигналу:
Поняття середньої потужності може бути поширене і на незгасаючі сигнали, енергія яких нескінченно велика. У разі необмеженого інтервалу Т строго коректне визначення середньої потужності сигналу повинно здійснюватися за формулою:
Квадратний корінь із значення середньої потужності характеризує чинне (середньоквадратичне) значення сигналу (root mean sqare, RMS).
Стосовно до електрофізичних системам, даним поняттям потужності і енергії відповідають цілком конкретні фізичні величини. Припустимо, що функцією s (t) відображається електрична напруга на резисторі, опір якого дорівнює R Ом. Тоді розсіюється в резисторі потужність, як відомо, дорівнює (в вольт-амперах):
а повна виділена на резисторі теплова енергія визначається відповідним інтеграцією миттєвої потужності w (t) по інтервалу завдання напруги s (t) на резисторі R. Фізична розмірність потужності і енергії в цьому випадку визначається відповідною фізичної розмірністю функції напруги s (t) і опору резистора R . Для безрозмірною величини s (t) при R = 1 це повністю відповідає виразу (2.2.1). В теорії сигналів в загальному випадку сигнальні функції s (t) не мають фізичної розмірності, і можуть бути формалізованим відображенням будь-якого процесу або розподілу будь-якої фізичної величини, при цьому поняття енергії та потужності сигналів використовуються в більш широкому сенсі, ніж у фізиці. Вони являють собою метрологічні характеристики сигналів.
З порівняння виразів (2.9) і (2.10) випливає, що енергія і норма сигналу пов'язані співвідношеннями:
Енергія сигналу: Es = s 2 (n) = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 85.
Норма: || s (n) || = »9.22
Обчислимо енергію суми двох довільних сигналів u (t) і v (t):
Як випливає з цього виразу, енергія сигналів (а так само і їх потужність), на відміну від самих сигналів, в загальному випадку не володіють властивістю адитивності. Енергія сумарного сигналу u (t) + v (t), крім суми енергій складових сигналів, містить в собі і так звану енергію взаємодії сигналів або взаємну енергію:
Неважко помітити, що енергія взаємодії сигналів дорівнює їх подвоєному скалярному добутку:
Euv = 2 áu (t), v (t)ñ. (2.14 ')
При обробці даних використовуються також поняття потужності взаємодії двох сигналів x (t) і y (t):
Для речових сигналів:
З використанням виразів (2.15-2.16) інтеграцією за відповідними інтервалами обчислюються значення середньої потужності взаємодії сигналів на певних інтервалах Т і енергія взаємодії сигналів.
Генерація сторінки за: 0.009 сек.