Результати лабораторних вимірювань, а також довідкові дані, використовувані при обробці експерименту, є наближеним величинами. Наближені величини, отримані в результаті вимірів, записуються наближеними числами.
При записи результатів вимірювань слід обов'язково вказувати величину абсолютної похибки. або довірчий інтервал, в який потрапляє істинне значення вимірюваної величини із заданою довірчою ймовірністю. наприклад,
Тут же призводять і відносну похибку
Отриманий результат необхідно виділити - підкреслити або взяти в рамку. Абсолютну похибку виражають завжди в тих же одиницях, що і вимірювану величину, наприклад:
Загальноприйнято і законодавчо закріплено ГОСТ 8.011-72 правило, згідно з яким абсолютна похибка вимірювання визначається числом з кількістю значущих цифр не більше двох (значущими цифрами в числах прийнято називати всі цифри 1,2,3. 9. А також нуль, але тільки в тих випадках , якщо він стоїть в середині або в кінці, але не на початку).
Точність похибки при елементарних методах обробки, які викладаються студентам I курсу, не перевищує 30%. Це означає, що друга значуща цифра абсолютної похибки невірна і, отже, вказувати похибка з більшою точністю не має сенсу. Тому значення абсолютної похибки слід округляти, залишаючи одну значущу цифру. Тільки, якщо ця цифра дорівнює одиниці, точність вказівки абсолютної похибки однією цифрою виявиться недостатньою (різниця між 1 і 2 становить вже 100%). В цьому випадку слід привести і другу цифру, округливши її до 0 або до 5.
Інші двозначні числа, наприклад, 2,5; 2,7; 3,5; і т.п. в запису похибки не допускаються, так як такий запис претендує на невиправдану точність (при використанні більш суворих методів обробки іноді утримують і другу цифру).
Нагадаємо правило округлення: округляючи точне або наближене число до певного розряду, останню що залишається значущу цифру не змінюють, якщо перша з відкинутих цифр менше 5, і збільшують на 1, якщо перша відкидається цифра більше 5.
Якщо перша з відкинутих цифр дорівнює 5, то останню із залишених цифр зберігають незмінною, якщо вона парна і праворуч від неї варто тільки цифра 5, останню з залишених цифр збільшують на одиницю, якщо вона непарна і за нею стоїть цифра 5. Як видно, цей випадок не має обґрунтування і виправдовується лише зручностями обчислювальної практики. Наприклад: потрібно округлити числа 53,65 і 20,35 до першого знака після коми. В результаті отримаємо: 53.6, 20.4.
Похибка округлення у всіх випадках не перевищує половини одиниці розряду залишеної цифри.
В результаті вимірювань або обчислень отримують наближене число, в якому розрізняють цифри вірні, що не містять помилок, і сумнівні, в яких містяться помилки. Прийнято наближене число округляти і записувати у вигляді десяткового дробу, в якій всі цифри, крім останньої, вірні. Останньою цифрою наближеного числа є сумнівна цифра. За її точність не можна поручитися. Зрозуміло, що порядок першої сумнівної цифри в наближеному числі визначається порядком першої значущої цифри абсолютної похибки.
При записи відносної похибки зберігають не менш двох Значущих цифр.
Наближені величини такі, як π. e. √2. логарифми чисел і т.п. наведені в спеціальних таблицях, можуть бути взяті, практично, з достатньою точністю. При обчисленнях беруть такі їх значення, які перевищують на порядок точність інших величин, що входять в даний розрахунок.
При використанні в розрахунках табличних значень, для яких не зазначено похибка, максимальну похибку приймають рівною 5 одиницям розряду, наступного за порядком останньої залишеної значущої цифри.
Наприклад, для табличного .значенія коефіцієнта поверхневого натягу води при 20 ° С. рівного # 963; = 72,53 10-3 Н / м. Результат записується у вигляді:
Похибка, що виникає при округленні показань приладів, називають похибкою відліку. Якщо показання приладу округлюють до значення, відповідного найближчій позначці шкали, то межа похибки відліку дорівнює 0,5 ціни поділки шкали приладу; якщо оцінити на око десяту, п'яту частину ділення шкали, то похибка відліку не перевищує 0,2 ціни поділки шкали.
Щоб отримати результат непрямого вимірювання, виконують математичні операції, а потім округлюють результат. Очевидно, немає необхідності виконувати математичні операції з результатами прямих вимірювань, як з точними числами. Слід їх округляти до певної кількості цифр. Це значно полегшить роботу, але при цьому можуть виникнути додаткові похибки. Щоб сам процес обчислення не вносив додаткової помилки, все обчислення слід проводити з кількістю значущих цифр, що перевищують на одиницю кількість значущих цифр у самому неточному з вихідних даних.
Так як значення абсолютної похибки наводиться з однієї (рідше з двома) значущими цифрами, то все обчислення похибок слід проводити не більше, ніж з двома значущими цифрами. При цьому може виявитися, що не всі складові підсумкової похибки впливають на цю похибку. Тому при обчисленні підсумкової похибки деякими складовими можна заздалегідь знехтувати, якщо вклад їх дуже малий у порівнянні з іншими складовими. Вищесказане справедливо і по відношенню до підсумкової відносної похибки. Наприклад: для вимірювання динамічного коефіцієнта в'язкості водного розчину гліцерину за методом Стокса були виконані вимірювання часу падіння t сталевої кульки діаметра d і щільності з висоти h в циліндричній трубі з водним розчином гліцерину щільності # 961; 1.
Для розрахунку коефіцієнта в'язкості використовується формула
де g - прискорення вільного падіння.
Були отримані наступні результати вимірювань з похибками після округлення:
Строго кажучи, відкидати всі інші похибки можна, якщо виконується нерівність
При вивченні залежності однієї величини від іншої, результати експерименту можуть бути представлені у вигляді графіка.
Основна перевага графіків - їх наочність. Побудувавши графік, експериментатор відразу одним поглядом охоплює вид отриманої залежності, отримує про неї якісне уявлення, відзначає наявність різних особливостей: максимумів, мінімумів, точок перегину, областей найбільшою і найменшою швидкості зміни, періодичності і т.п. Графік дозволяє легко судити про відповідність експериментальних даних тієї чи іншої теоретичної залежності, а також полегшує обробку вимірювань.
При побудові графіків необхідно дотримуватися наступних правил:
-графіки повинні виконуватися на міліметровому папері або на папері зі спеціальними координатними сітками;
-загальноприйнято на осі абсцис відкладати аргумент, тобто ту величину, зміни якої є причиною зміни іншої, по осі ординат - функцію;
-масштаби по обох осях вибирають незалежно один від одного. Однак, вибір масштабу для аргументу і функції повинен бути зроблений так, щоб точність знаходять графічним шляхом величин відповідала точності вимірювань. Похибка повинна бути видна на графіку і представлятися відрізком достатньої довжини, в іншому випадку графік не відображає всіх деталей експерименту і не може бути використаний для графічної обробки даних без втрати точності. При цьому рекомендується брати більший масштаб для тієї величини, похибка вимірювань якої менше.
Пояснимо це на прикладі. При вимірюванні теплоти плавлення записують свідчення термометра Бекмана через кожну хвилину протягом 20 хвилин. Ціна поділки термометра Бекмана дорівнює 0,01 град. При достатньому навичці можна відраховувати температуру з точністю до 0,002 град. Час вимірюють по годинах.
За результатами вимірювань на міліметрівці будують графік. На осі абсцис відкладають час, на осі ординат - температуру. Для осі часу достатній масштаб 1 хв - 5 мм. Збільшення масштабу (наприклад, до 1 хв - 1 см) буде марним, тільки графік стане більш пологим. Для осі температур зручний масштаб 0,01 град - 2 мм. В цьому випадку точність відліку температур за графіком буде відповідати точності вимірювань. Якщо вибрати менший масштаб, наприклад, 0,01 град - 1 мм, то відкласти на графіку величину 0,002 град, яку можна відраховувати по термометру, не вдасться. Більший масштаб, наприклад, 0,01 град - 10 мм не потрібен, так як ведучи відлік за графіком, можна зняти показання 0,5 мм = 0,0005 град, і помилково вважати, що така точність отриманого результату.
На графіку наводиться та область вимірювання виміряних величин, яка була досліджена на досвіді. Шкали аргументу і функції повинні починатися з того значення, яке є найближчим до найменшого округленому, і закінчуватися найближчим до найбільшого округленому значенням даної величини. Так, якщо величина змінюється в межах від 0,53 до 0,97 одиниць, то вісь доцільно зліва обмежити 0,5, а праворуч 1,0. Не слід прагнути до того, щоб на графіку обов'язково помістилося початок координат (точка 0,0). Навіть в тому випадку, коли потрібно знайти точку перетину будь-якої прямої на графіку з однієї з координатних осей, немає необхідності, щоб ця точка містилася на графіку. Точку перетину легко знайти розрахунком, користуючись подібністю трикутників. Початок координат поміщають на графіку в тому випадку, коли це не вимагає великого збільшення його розмірів і звичайно тоді, коли (0,0) є результат вимірювання (рис. 1).
При правильно обраному масштабі побудов кут нахилу отриманої кривої близький до 45º, а криві займають практично все поле креслення. За одиниці масштабу розумно вибирати числа, кратні 5, 10, 50, 100 мм, а також парні і непарні числа. Не слід розставляти ці числа на осях графіка занадто густо - досить нанести їх через 2 або через 5 см. Не слід також проставляти експериментальні точки. Близько осей координат слід записати позначення, одиниці виміру, а іноді і назва відкладених величин. Точки повинні наноситися на графік ретельно і акуратно, щоб графік вийшов більш точним. Це важливо для подальшої графічної обробки результатів. Якщо на координатної площині є кілька кривих, то кожній кривій присвоюється номер, а на вільному полі креслення вказується назва, позначення і одиниці вимірювання параметра, відповідного даним номером. Точки, що відносяться до різних кривих, повинні бути позначені різними символами (гуртки, трикутники, квадрати і т.п.), щоб не плутати їх.
Виносні лінії на кресленні, як правило, не проводяться. Виносну лінію можна нанести як виняток тільки в тому випадку, якщо хочуть особливо виділити на графіку будь-яку точку (наприклад, положення максимуму).
Похибка вимірювання зображують на графіку за допомогою відрізків, на середині яких знаходиться експериментальна точка. Довжина відрізка дорівнює подвоєною величиною помилки в даному масштабі. Відрізок зверху і знизу обмежують рисками. Помилку аргументу зображують горизонтальним відрізком, а помилку функції - вертикальним.
У більшості випадків можна заздалегідь забезпечити бажану точність аргументу. Крім того, помилка аргументу мала в порівнянні з помилкою в значенні функції, оскільки в помилку функції входять крім помилки аргументу ще й помилки інших величин. В такому випадку на графіку досить показати тільки помилку функції за допомогою вертикального відрізка (див. Рис.2).
Криву на графіку проводять плавно, уникаючи вигинів і зламів. Крива повинна проходити наскільки можливо ближче до всіх нанесеним точкам, але ні в якому разі не слід проводити її через кожну точку; експериментальні точки повинні розташовуватися по обидві сторони від кривої.
Якщо на графіку нанесені величини помилок у вигляді вертикальних відрізків, то крива, як правило, повинна лежати в межах цих відрізків.
Злам на кривій можна малювати тільки в тому випадку, якщо його не можна пояснити похибкою вимірювань і якщо на його існування вказує велика кількість точок і відсутність систематичних помилок. Слід пам'ятати. що будь-яка особливість на кривій - злам, різка зміна кривизни та ін. - вимагає якого спеціального експериментального докази, або теоретичного пояснення.
Криву на графіку слід проводити від руки, олівцем. Готовий графік забезпечується заголовком, який повинен містити точне писання того, що показує графік.
Знаходження параметрів теоретичної або експериментальної залежності
Часто перед експериментатором виникає завдання: встановити на основі досвідчених даних функціональну залежність між вимірюваними фізичними величинами. Наприклад, уявити знайдену з досвіду залежність у вигляді полінома y = a + bx + cx 2. показовою функції y = ae bx і т.п. Вид рівняння можна підібрати довільно або отримати на підставі будь-яких теоретичних міркувань. В обох випадках необхідно перевірити, чи придатна дана формула для представлення сукупності експериментальних даних і підібрати якнайкраще значення невідомих параметрів a, b, c .... що входять в формулу. Для простих формул, що містять один або два невідомих параметра, зручно користуватися графічним методом. Особливо просто вирішується завдання для лінійної функції y = a + bx. так як в цьому випадку графік - пряма лінія. Значення b знаходиться як кутовий коефіцієнт прямої ( «тангенс кута нахилу» прямий до осі абсцис), а значення a - як величина відрізка, що відсікається прямою на осі ординат.
Якщо функція y = f (x) нелінійна, то в цьому випадку зручно використовувати функціональний масштаб, тобто графік перечерчівать в нових координатах, обраних так, щоб отримати лінійну залежність.
Так залежність виду y = ax n можна досліджувати на графіку. якщо n відомо. Якщо ж n. як і a. невідомі величини і їх слід визначити з експериментальних даних, то застосовується логарифмічний масштаб lg y = f (lg x). В цьому випадку підбирається функція представляється на графіку прямий lg y = lg a + nlg x; параметри функції легко визначаються з нахилу і початкової ординати прямої. Функція виду y = a + bx 2 підбирається на графіку y = f (x 2). тобто по осі абсцис відкладають значення x 2. Експоненціальна функція виду y = ax 2 e - b / x відіб'ється прямий в координатах lg y / x 2 і 1 / x ().
Зазвичай при такому методі обробки результатів вимірювань будують два графіка - графік у функціональному масштабі для кількісної обробки і графік в натуральному масштабі для наочного уявлення функції.
Метод найменших квадратів
При емпіричному (експериментальному) вивченні функціональної залежності однієї величини від другої. проводять ряд вимірювань величини при різних значеннях. тобто отримують набір. Результати можуть бути представлені у вигляді таблиці або графіка (рис.1).