Правильні і напівправильні багатогранники
Реферат виконала: Гильова Марія, клас 10 "У", школа 41
Правильні і напівправильні багатогранники (Платонова і архимедови тіла)
Правильним многогранником називається опуклий багатогранник, грані якого - рівні правильні багатокутники, а двогранні кути при всіх вершинах рівні між собою. Доведено, що в кожній з вершин правильного багатогранника сходиться одне і те ж число граней і одне і те ж число ребер.
Всього в природі існує п'ять правильних багатогранників. У порівнянні з кількістю правильних багатокутників це - дуже мало: для кожного цілого n> 2 існує один правильний n-кутник, тобто правильних багатокутників - нескінченно багато. Правильні багатогранники мають назви за кількістю граней: тетраедр (4 грані): гексаедр (6 граней), октаедр (8 граней), додекаедр (12 граней) і ікосаедр (20 граней). По-грецьки "хедрон" означає грань, "тетра", "гекса" і т. Д. - зазначені числа граней. Неважко здогадатися, що гексаедр є не що інше, як всім знайомий куб. Грані тетраедра, октаедра і ікосаедра - правильні трикутники, куба - квадрати, додекаедра - правильні п'ятикутник.
Якщо позначити кількість кутів в однієї грані правильного багатогранника за q, а кількість граней, що сходяться в одній вершині - за p, можна отримати точні характеристики кожного правильного багатогранника. Ось вони (перше число - q, друге - p): (3; 3), (3, 4), (4, 3), (3; 5), (5; 3). При цьому у куба і октаедра, а також у ікосаедра і Додекаедр, числа p і q виявляються хіба що переставленими. Ці багатогранники називають роздвоєними. Тетраедр вважається двоїстим сам собі. У подвійних багатогранників кількість ребер однакове.
Правильні багатогранники симетричні. Це означає, що для будь-якого довільно обраного ребра AB і пов'язаною з ним грані F можна так повернути багатогранник, що ребро AB перейде в будь-який відмінне від нього ребро CD, точка A - в будь-який його кінець (C або D), а грань F співпаде з однією з двох прилеглих до нього граней. Таких можливих поворотів - самосовмещеній всього існує 4P, де P - число ребер багатогранника. При цьому половина з них - повороти навколо уявних осей, що з'єднують центр багатогранника з його вершинами, серединами ребер і граней на кути, кратні відповідно 2 p / q, p і 2 p / p, а інша половина - симетрії щодо площин і "дзеркальні повороти ". Зазначене "властивість максимальної симетричності" іноді приймають за визначення правильного багатогранника. Але людині, далекій від математики, важко уявити собі геометричне тіло з таким визначенням.
Йоганн Кеплер називав куб "батьком" усіх правильних багатогранників. На основі куба він зміг побудувати всі інші види правильних багатогранників.
Якщо провести в протилежних гранях куба перехресні діагоналі, то їх кінці виявляться вершинами тетраедра, а вершини октаедра - це центри граней куба. Отримані багатокутники дійсно правильні, так як їх межі - правильні трикутники. Рівність же двогранні кутів випливає з того, що при повороті куба ребро багатогранника можна перевести в будь-яке інше.
Для того, щоб побудувати ікосаедр, на кожній грані куба потрібно побудувати відрізок довжиною x (поки що це - будь-яка довжина) так, щоб він був паралельний двом сторонам своєї межі і перпендикулярний таким же відрізкам на сусідніх гранях. Середина його повинна збігатися з центром межі. З'єднаємо кінці цих відрізків між собою, і ми отримаємо двадцатигранник, межі якого - трикутники, і при кожній вершині їх п'ять. Знайдемо таке число x, при якому всі ребра цього багатогранника рівні, т. Е. Він правильний. Оскільки куб симетричний, то все ребра, які не належать граням куба рівні між собою. Приймемо довжину ребра куба за a. Розглянемо трикутник ABC (рис. 2), де AC = a-x, BC2 = CD2 + BD2 = 1 / 4a2 + 1 / 4x2. По теоремі Піфагора отримуємо: AB2 = AC2 + CB2 = (x2 + a2 + (a-x) 2) / 4.
Прирівнюючи AB до x, отримуємо квадратне рівняння: x2 + ax-a2 = 0, звідки x = a ( Ö 5-1) / 2. Цікаво, що отриманий множник при a, т. Е. Ставлення ребра куба до ребру вписаного в нього ікосаедра - не що інше, як золотий перетин.
Тепер доведемо рівність двогранні кутів. Розглянемо 5 ребер, що виходять з точки A. Кінці їх всіх рівновіддалені і від точки A, і від центру куба O. Звідси випливає, що вони лежать на перетині двох сфер з центрами A і O, а значить - на колі, причому ребра, що з'єднують їх з точкою A, рівні. Значить, ці п'ять точок і точка a - вершини правильної піраміди, а її двогранні кути при вершині рівні.
Додекаедр з ікосаедра можна отримати так само, як і октаедр з куба. поєднуючи середини суміжних граней ікосаедра, ми отримуємо правільнгий п'ятикутний. Всього таких п'ятикутників буде 12. Двогранні кути багатокутника будуть рівні, так як тригранні кути при його вершинах мають рівні плоскі кути.
Правильні багатогранники також називають Платоновим тілами, хоча вони були відомі ще за кілька століть до Платона. В одному зі своїх діалогів Платон зв'язав правильні багатокутники з чотирма стихіями. Тетраедрами відповідав вогонь, кубу - земля, октаедру - повітря, ікосаедр - вода. Додекаедрів відповідала п'ята стихія - ефір.
Так звані напівправильні багатогранники пов'язують з ім'ям Архімеда. Це 13 тіл, отриманих при усечении правильних багатогранників і два нескінченних ряду правильних призм і антипризми з рівними ребрами.
В епоху Відродження вчений Йоганн Кеплер слідом за Платоном спробував зв'язати правильні багатогранники з будовою Всесвіту. З більшою чи меншою точністю він розмістив між сферами, що містять орбіти шести відомих планет, правильні багатогранники таким чином, що кожен був описаний близько меншою сфери і вписаний в більшу. Але ім'я Кеплера в геометрії прославило відкриття двох з чотирьох правильних зоряних тел. Два інших в 1809 р знайшов француз Луї Пуансо.
Мал. 1 Правильні багатогранники
Тетраедр Куб Октаедр Додекаедр Ікосаедр
Рис.2 Отримання правильних багатогранників з куба
Мал. 3 архімедовим тіло, утворене з ікосаедра
Мал. 4 Одне із зоряних тел