Правильний додекаедр (від грец. Δώδεκα - «дванадцять» і εδρον - «грань») - один з п'яти можливих правильних багатогранників. Додекаедр складений з дванадцяти правильних п'ятикутників. є його гранями. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Таким чином, додекаедр має 12 граней (п'ятикутних), 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра).
Додекаедр і його описана сфера
Мабуть, найдавніший предмет у формі додекаедра був знайдений в північній Італії. близько Падуї. в кінці XIX століття, він датується 500 р. до н.е. е. і імовірно використовувався етрусками як гральної кістки.
Додекаедр розглядали в своїх творах давньогрецькі вчені. Платон порівнював з правильними многогранниками різні класичні стихії. Про додекаедрів Платон писав, що «... його бог визначив для Всесвіту й удався до нього в якості зразка». Евклід в реченні 17 книги XIII «Начал» будує додекаедр на ребрах куба: 132-136. Папп Олександрійський в «Математичному зборах» займається побудовою додекаедру, вписаного в дану сферу, попутно доводячи, що вершини додекаедру лежать в паралельних площинах: 318-319.
На території кількох європейських країн знайдено безліч предметів, які називаються римськими додекаедрів. що відносяться до II-III ст. н. е. призначення яких не зовсім зрозуміло.
Якщо за довжину ребра прийняти a. то площа поверхні Додекаедр дорівнює
Радіус описаної сфери:
Радіус вписаного сфери:
- Всі двадцять вершин Додекаедр лежать по п'ять в чотирьох паралельних площинах. утворюючи в кожній з них правильний п'ятикутник.
- Двогранний кут між будь-якими двома суміжними гранями додекаедра дорівнює arccos (-1 / √5) ≈116 °, 565.
- Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324 °, тілесний (тригранний) кут дорівнює arccos (-11 / 5√5) ≈2,9617 стерадіан.
- У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедру.
- Додекаедр має три зірчасті форми.
- У додекаедр можна вписати п'ять кубів. Якщо замінити п'ятикутні грані додекаедру плоскими п'ятикутними зірками так, що зникнуть всі ребра додекаедра, то отримаємо простір п'яти пересічних кубів. Додекаедр як такої зникне. Замість замкнутого багатогранника з'явиться відкрита геометрична система п'яти ортогональних. Або симетричне перетин п'яти тривимірних просторів.
Елементи симетрії додекаедру Правити
- Додекаедр має центр симетрії і 15 осей симетрії. Кожна з осей проходить через середини протилежних паралельних ребер.
- Додекаедр має 15 площин симетрії. Будь-яка з площин симетрії проходить в кожній грані через вершину і середину протилежної ребра.
- Додекаедр застосовується як генератор випадкових чисел (разом з іншими кістками) в настільних рольових іграх. і позначається при цьому d12 (dice - кістки).
- Виготовляються настільні календарі в формі Додекаедр з паперу, де кожен з дванадцяти місяців розташований на одній з граней.
- У грі Пентакор світ представлений у вигляді цієї геометричної фігури [джерело не вказано 650 днів].
- В іграх «Sonic the Hedgehog 3» і «Sonic Knuckles »серії Sonic the Hedgehog вид додекаедру мають Смарагди Хаосу [джерело не вказано 650 днів].
- У грі «Destiny» форму додекаедра мають енграми [джерело не вказано 650 днів].