Метод паралельного проектування. Ізображеніепространственних фігурна площині.
Геометрія, 10 клас. Воробйов Леонід Альбертович, м.Мінськ
Отже, ми приступили до вивчення стереометрії - геометрії в просторі. Як завжди нам необхідно вміти зображати геометричні фігури, причому всі креслення ми як і раніше виконуємо на площині (на сторінці зошита, на дошці і т.д.). Яким чином просторову фігуру (наприклад, куб) можна «укласти» в площину?
Для вирішення цього завдання застосовується метод паралельного проектування. З'ясуємо його суть на прикладі простої геометричної фігури - точки. Отже, у нас є геометрична фігура в просторі - точка А. А
А Виберемо в просторі довільну площину (її ми будемо називати площиною проекцій) і будь-яку пряму a (вона задає напрямок паралельного проектування). а
А а Проведемо через точку А пряму, паралельну прямій а. А 'Точка А' перетину цієї прямої з площиною і є проекція точки А на площину . Точку А ще називають прообразом, а точку А '- чином. Якщо А, то А 'збігається з А.
Розглядаючи будь-яку геометричну фігуру як безліч точок, можна побудувати в заданій площині проекцію даної фігури. Таким чином можна отримати зображення (або «проекцію») будь-якій плоскій або просторової фігурина площині (див.рис.).
а Наочним прикладом паралельного проектування є відкидається будь-яким об'єктом (прообраз) в просторі тінь (образ) від сонячних променів (напрямок паралельного проектування) на Землі (площину проекцій).
Примітка 1. При паралельному проектуванні не вибирають напрямок паралельного проектування паралельно площині проекції (самостійно обґрунтуйте чому). А а
Примітка 2. При паралельному проектуванні плоских фігур не вибирають напрямок паралельного проектування паралельно площині, якій належить ця плоска фігура, тому що що виходить при цьому проекція не відображає властивості даної плоскої фігури. А а B C А 'B' C '
Примітка 3. Якщо напрямок паралельного проектування перпендикулярно площині проекцій, то таке паралельне проектування називається ортогональним (прямокутним) проектуванням. А а B C А 'B' C '
Примітка 4. Якщо площина проекцій і площину, в якій лежить дана фігура паралельні ( || (АВС)), то виходить при цьому зображення ... А а B C А 'B' C '... правильно - одно прообразу!
Паралельне проектування має властивості: 1) паралельність прямих (відрізків, променів) зберігається; а A D C B A 'D' C 'B'
2) відношення довжин відрізків, що лежать на паралельних або на одній прямій зберігається; Паралельне проектування має властивості: паралельність прямих (відрізків, променів) зберігається; а A D C B A 'D' C 'B' Якщо, наприклад, АВ = 2CD, то А'В '= 2C'D' або М М '
Паралельне проектування має властивості: паралельність прямих (відрізків, променів) зберігається; а A B A 'B' 3) Лінійні розміри плоских фігур (довжини відрізків, величини кутів) не зберігаються (виняток - див. Примітку 4). 2) відношення довжин відрізків, що лежать на паралельних або на одній прямій зберігається; β β 'C C'
Отже, побудуємо зображення куба: Далі розберемо приклади зображення деяких плоских фігур ...
Фігура в просторі Її зображення на площині Довільний трикутник Довільний трикутник Прямокутний трикутник Довільний трикутник Рівнобедрений трикутник Довільний трикутник
Фігура в просторі Її зображення на площині Рівносторонній трикутник Довільний трикутник Паралелограм Довільний паралелограм Прямокутник Довільний паралелограм
Фігура в просторі Її зображення на площині Квадрат Довільний паралелограм Трапеция Довільна трапеція Довільний паралелограм Ромб
Фігура в просторі Її зображення на площині равнобокой трапеція Довільна трапеція Прямокутна трапеція Довільна трапеція Коло (коло) Овал (еліпс)
A B C D E F O Розберемося, як побудувати зображення правильного шестикутника. F A B C D E Розіб'ємо правильний шестикутник на три частини: прямокутник FBCE і два рівнобедрених трикутника ΔFAB і ΔCDE. Побудуємо спочатку зображення прямокутника FBCE - довільний паралелограм FBCE. Залишилося знайти місце розташування двох, що залишилися вершин - точок A і D. Згадавши властивості правильного шестикутника, зауважимо, що: 1) ці вершини лежать на прямій, що проходить через центр прямокутника і паралельної сторонам BC і FE; 2) OK = KD і ON = NA. K N Значить, 1) знаходимо на зображенні точку О і проводимо через неї пряму, паралельну BC і FE, отримавши при цьому точки N і K; O N K 2) відкладаємо від точок N і K від центру Про на прямий такі ж відрізки - в результаті отримуємо дві решта вершини правильного шестикутника A і D.
Подивитися всі слайди