Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Завдання №1. У скільки разів треба розширити адиабатически газ, що складається з жорстких двохатомних молекул, щоб їх середня квадратична швидкість зменшилася в рази.
З розподілу Максвелла випливає, що середня квадратична швидкість молекул залежить від температури газу. Тому рівняння адіабати слід розглядати відносно площини (T, V) для двох заданих станів:
Ефективне значення швидкість молекул пов'язана з температурою газу за формулою:
За умовою середня квадратична швидкість в процесі розширення зменшилася в раз:
Шукане відношення обсягів позначимо як:
Перетворимо (4) з урахуванням (5):
Висловимо з співвідношення (6) і отримаємо шукану величину (у скільки разів розшириться газ при адіабатичному процесі):
Величина в (7) є коефіцієнтом Пуассона, який пов'язаний з числом ступенів свободи газу за формулою:
Показник ступеня в (7) перетворимо за допомогою співвідношення (8):
Підставляючи (9) в (7), отримуємо:
Число ступенів свободи двоатомних газу з жорсткою зв'язком молекул дорівнює п'яти і враховує тільки три поступальні ступені і дві обертальні. Знаходимо. використовуючи дані завдання:
Відповідь: В рази розшириться газ.
Завдання №2. Суміш водню і гелію знаходиться при температурі К. При якому значенні швидкості молекул значення функцій розподілу Максвелла будуть однаковими для обох газів.
Запишемо функції розподілу Максвелла для кожного елемента суміші, враховуючи умову задачі про рівність температур, а, отже, і швидкостей молекул елементів сумішей. При цьому їх молярні маси різні.
де - номер елемента суміші.
Маса молекули пов'язана з молярною масою по формулі:
Підставляючи (2) в (1), отримуємо:
За умовою завдання функції розподілу повинні бути однаковими:
Підставляючи (3) в (4), знаходимо:
Візьмемо натуральний логарифм від обох частин співвідношення (6):
де - універсальна газова постійна
Висловимо з (7) шукану швидкість:
Підставляючи значення молярних мас елементів суміші з таблиці Менделєєва і температуру, знаходимо числове значення швидкості:
Завдання №3. Потенційна енергія молекул газу в деякому центральному полі залежить від відстані до центру поля як. де - позитивна постійна. Температура газу. концентрація молекул в центрі поля. Знайти: 1) число молекул, що знаходяться в інтервалі відстаней; 2) найбільш ймовірну відстань молекул від центру поля; 3) відносна кількість усіх молекул в шарі.
Для вирішення задачі використовуємо розподіл Больцмана, що задає число молекул, що знаходяться в інтервалі відстаней. для поля потенційних сил:
У нашому випадку вони є центральними, тому зручно перейти від просторової декартової системи координат до сферичної, враховуючи, що потенційна енергія не залежить від кутів цієї системи:
Підставляючи заміну (2) і вираз для потенційної енергії розглянутого поля в (1), отримуємо:
де задана концентрація в центрі розглянутого поля.
Щільність ймовірності цього розподілу визначається з порівняння (3) з наступним математичним визначенням:
Найбільш ймовірне відстань молекул від центру поля може бути знайдено з умови екстремуму цієї функції:
Так в нуль може звертатися тільки вираз в дужках, отримуємо шукане значення:
Для того, щоб знайти відносне число всіх молекул в шарі. необхідно знайти повне число молекул в просторі і визначитися зі ставленням:. де визначається співвідношенням (3) даного завдання.
Повне число молекул для даного розподілу можна розрахувати, проинтегрировав (3):
Візьмемо окремо даний інтеграл, зробивши заміну. :
Інтеграл в (9) табличний і дорівнює:
Підставляючи (10) в (9), а потім (9) в (8), отримуємо:
Далі знаходимо відносне число всіх молекул в шарі як відношення. розділивши (3) на (10):